Побудова графіків суми та добутку функцій

Інколи побудову графіка функції вдається спростити, якщо її можна представити у вигляді суми двох або більше функцій, що мають прості графіки. У цьому випадку треба на одній координатній площині побудувати графіки доданків, а потім для одного і того самого значення аргументу додати відповідні значення функцій. Зауважимо, що це зручно зробити, наприклад, за допомогою циркуля. При цьому необхідно, в першу чергу, звернути увагу на характерні точки графіків функцій, суму яких ми знаходимо, а саме: екстремальні точки, точки перегину, точки перетину з осями координат та ін. Крім того, слід врахувати парність, непарність, періодичність, монотонність функцій, що входять в суму, а графік будувати на спільній частині їх областей визначення.

Приклад 1. Побудувати графік функції

Розв’язання. Поділивши чисельник на знаменник у виразі даної функції, одержимо

На координатній площині побудуємо графік функцій-доданків, а потім, щоб отри мати шуканий графік, для кожного значення аргументу додамо їх ординати (рис. 197).

Приклад 2. Побудувати графік функції у = х +sin х

Розв’язання. Задана функція ‒ непарна, тому одержимо графік спо­чатку для х > 0 . Для цього будуємо спочатку графіки функцій у=х та у = sinх для х>0 , а потім, врахувавши значення функції у = sin х в характерних точках (в нулях ‒ при х= πk та екстре­мумах функції ‒ при х = + πk,k є Z),а також скориставшись її проміжками зростання і спадання, знаходимо суму одержаних доданків. Зауважимо, що оскільки х ‒ 1 < х + sinх < х + 1, то зручно провести прямі у = х ‒1. та у = х + 1, і шуканий графік буде обмежений цими лініями. Доповнюючи побудовану криву її симетричним відображенням відносно точки О, одержимо графік функції у = х + sinx (рис. 198).

Якщо вираз для складеної функції можна представити у вигляд добутку двох функцій, графіки яких побудувати простіше, аніж графік заданої функції, то шуканий графік можна одержати, перемноживши для кожного значення аргументу відповідні ординати співмножників. Зауважимо, що якщо при “додаванні графіків” можна користуватися циркулем для знаходження суми ординат, то при “множенні” необхідно попередньо виразити відрізки (ординати) числами і лише потім помножити ці числа з врахуванням їх знаків. Як і при “додаванні графіків” зручно знаходити добуток функцій-множників в характерних точках функцій. Зрозуміло, що при цьому слід врахувати властивості функцій-співмножників, розглядаючи добуток на спільній частині їх областей визначення.

Приклад 3. Побудувати графік функції у = х cosх

Розв’язання. Задана функція ‒ непарна, як добуток непарної функції на парну. Тому досить побудувати графік цієї функції для х > 0 , а потім скористатися симетрією відносно початку координат. Оскільки | cosх |<l, то |хcosх |<|х| і графік буде розміщений між прямими у = -х та у = х, дотикаючись їх відповідно в точках, де cosх= ‒1 і cosх = 1 , тобто при х = π + 2πkіх=2πk , kєZ(рис. 201).

Побудова графіків складених функцій y=f(g(x))

Існує декілька методів побудови графіка складеної функції, яку можна представити у вигляді суперпозиції зовнішньої функції у =f(z) та нутрішньої функції z = g(x) , тобто у вигляді y=f(g(x)).

Так, побудову графіка цієї функції можна здійснити по точках без обчислення значень складеної функції, якщо відомо графіки

у = f(x) та у = g(x)

Для цього на координатній площині треба побудувати графіки функцій y=f(x) , у = g(x) та пряму у = х.

Тоді для довільного значення аргументу зобласті визначення заданої функції

необхідно знайти точку з координатами , яка належить шуканому графікові функції.

Побудову виконуємо у такій послідовності:

1. Через точку х = х₀ проводимо вертикальну пряму до перетину з графіком функції у = g(x) у точці .

2. Через точку А проводимо горизонтальну пряму до перетину з прямою у = х в точці ).

3. Через точку Впроводимо вертикальну пряму до перетину з графіком функції у = f(x) в точці

4. Через точку С проводимо горизонтальну пряму до перетину з прямою в точці в точці D(x₀;f(g(x₀))) , яка і є шуканою.

Зрозуміло, що хоча такий шлях і є загальний, але побудова в такий спосіб може виявитись дуже громіздкою. Тому при побудові графіків скла­дених функцій вказаним способом користуються рідко.

У загальному випадку для побудови графіка складеної функції необхідно знати її властивості, а також визначити контрольні точки, через які проходить шуканий графік. Властивості складеної функції можна з’ясувати за відомою схемою дослідження функцій, а контрольні точки графіка обчисленням певних значень функції для відповідних значень аргументу або ж геометрично.

Проте не завжди є потреба встановлювати властивості складеної функції за всіма пунктами загальної схеми дослідження. Нерідко краще скористатися властивостями функцій у=f(z) і z =g(x) . Тут треба мати на увазі, що складена функція у=f(g(x)) буде мати смисл для тих зна­чень аргументу х, для яких має смисл функція z = g(x) і набуває при цьо­му значень, для яких існує у=f(z) .

Для знаходження проміжків зростання (спадання) та екстремумів функції у= f(g(x)), її періодичності, парності чи непарності зручно користуватися відповідними теоремами (дивись лекції).

Приклад. Побудувати графік функції

Розв’язання. Будуємо параболу (на рисунку зображена штриховою лінією). Точки перетину графіка внутрішньої функції і лінії у = ‒1 проектуємо на пряму у = 1. Одержані точки та точки перетину параболи з прямою у=1 належать шуканому графікові. Згідно з наведеною вище схемою складена функція буде досягати мінімальних значень в точках х = ‒3 та х = 1 (у= 0 ) і максимального значення при х= ‒1 (у = 4 ). Тепер, врахову­ючи інтервали монотонності, легко одержати шуканий графік (на рис. 160 зображений суцільною лінією)