Основные формулы

Вспомнив основные обратные тригонометрические функции, перейдем к исследовательской части проекта.

Рассмотрим основные формулы, связывающие тригонометрические функции.

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

на сегменте и

в интервале .

Равенства (1) не являются тождествами, справедливыми при всех действительных значениях . Так, например, при выражение следовательно, и теряет смысл. Итак, при левая часть равенства не имеет смысла, а правая смысла не теряет, а потому говорить о выполнении равенств (1) не представляется возможным. Равенства (1) суть тождества лишь на сегменте .

Черт. 9

На чертеже графически показано различие между функциями, заданными формулами и .

Первая изображается биссектрисой координатного угла, а вторая — лишь отрезком этой биссектрисы. Равенства (2) являются тождествами, справедливыми при всех действительных значениях .

Перейдем к более сложным преобразованиям.

1) Преобразуем выражение . Мы знаем, что косинус может быть выражен через синус по формуле

Полагая в этой формуле , будем иметь , следовательно, получим

Выясним, какой из знаков должен быть взят перед радикалом. Из тригонометрии известно, что косинус дуги, заключенной на сегменте положителен или равен нулю, а так как

то перед радикалом следует взять знак +. Итак,

Полученному соотношению легко дать геометрическую интер­претацию. Рассмотрим тригонометрический круг (радиус, как всегда считаем равным 1, Черт. 10). Число есть величина линии синуса угла .Величина отрезка есть значение косинуса угла :

Черт. 10

По теореме Пифагора получаем

откуда:

2) Подобным же образом найдем:

В силу неравенств имеем а поэтому перед радикалом необходимо взять знак +.

3) Из соотношения следует:

4) В качестве дальнейшего примера рассмотрим функцию имеем:

5) На основании формулы тригонометрии, выражающей синус через тангенс

получим:

Если , то и если , то . В правой части мы должны выбрать знак +, так как только при таком выборе знака дробь будет иметь тот же знак, что и знак . Итак,

Дадим сводку формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

	c

Выражения, находящиеся в правых частях каждого из написанных в таблице равенств, алгебраические. Эти формулы являются не чем иным, как только иначе написанными, известными из тригонометрии формулами, при помощи которых тригонометрические функции выражаются одна через другую.

Примеры преобразований

Переходим к рассмотрению основных преобразований, которые могут быть получены на основе выведенных формул.

1) Преобразуем выражение: . Применяя формулу , имеем:

2)Подобным же образом устанавливается справедливость равенств:

3) Пользуясь теоремой сложения и ранее рассмотренными формулами, получим:

4) Следуя приему, указанному в предыдущем примере, можно доказать следующие равенства:

5) Из тригонометрии известно, что и рационально выражаются через по следующим формулам:

полагая в этих формулах , получим:

Как следовало ожидать, мы получили рациональные функции.

6) Преобразуем . Полагая в формуле

получим:

Знак выражения совпадает со знаком ; следовательно, перед радикалом должен быть взят знак +, так как только тогда знак правой части будет совпадать со знаком .

Итак, имеем:

Тем же методом, доказываются равенства:

Выведем формулы преобразования выражений вида , и т.д., где — целое число. Воспользуемся формулами:

(последний член равен при нечетном и при четном).

(последний член равен при нечетном и при четном .

В написанных формулах символ означает число сочетании из элементов по .

Формулы (1) и (2) могут быть получены, если воспользоваться известной из теории комплексных чисел формулой Моавра:

Разлагая правую часть равенства по формуле бинома Ньютона, получим:

Приравнивая в этом равенстве действительную часть действительной и мнимую мнимой, получим формулы (1) и (2).

Полагая в формуле (2) и пользуясь равенством,

получим:

Подобным же образом, полагая в формуле (1) , будем иметь:

Последнее равенство показывает, что функция , определенная в сегменте (так как только в этом сегменте имеет смысл), совпадает на этом сегменте с некоторым многочленом m-йстепени. Эти многочлены носят название полиномов Чебышева, по имени великого русского ученого П. Л. Чебышева.

В качестве дальнейшего примера рассмотрим . При всяком целом эта функция является рациональной.

В самом деле:

Полагая в формуле (3) , получим:

Приведенными примерами мы не исчерпали всех возможных этого рода преобразований, однако методы их выполнения выяснены достаточно подробно.

Разберем некоторые примеры преобразований аркфункций:

1) Доказать, что при условии

Решение. Воспользуемся формулой:

Согласно условию, имеем:

откуда

следовательно,

2) Показать, что:

.

Решение. Полагая в формуле

после преобразований получим:

;

так как , то в числителе следует взять по абсолютной величине.