Соотношения первого рода

Изучим соотношения первого рода, которыевытекают из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых значениях имеют место соотношения:

Доказательство.

Из формул тригонометрии:

получаются соотношения, связывающие значения функции и .Обозначим , тогда имеем . На основании формул (1) получим:

Исследуем, в каких пределах расположена дуга . Так как:

Итак, дуга

имеет косинус, равный ,и расположена на сегменте . Но по определению арккосинуса единственная дуга на сегменте , имеющая косинус, равный ,есть . Следовательно, имеем

откуда

На чертежах 11 и 12 дано геометрическое пояснение доказанного равенства для случаев .

3.2. Соотношения второго рода

Соотношения второго рода между аркфункциями вытекают из соотношений, имеющих место между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента.

Рассмотрим сначала несколько частных примеров.

1) Мы знаем, что

следовательно,

Из этого примера мы видим, что данная дуга может быть представлена как арксинус и как арккосинус различных аргументов.

2) Дело изменится, если мы пожелаем представить в виде арккосинуса дугу

В самом деле, не может иметь отрицательных значений и поэтому ни при каком значении не может иметь место равенство

Выразить дугу через арккосинус можно так:

принимая во внимание равенства

и

получим:

3)

Перейдем к рассмотрению в общем виде вопроса о преобразовании одной аркфункции в другую. Рассмотрим сначала какую-нибудь пару аркфункции, значения которых заключены в одних и тех же пределах. Для определенности возьмем . Значения обеих этих функций заключены в промежутке от до , в этом промежутке дуга вполне определена, если задано значение ее тангенса или синуса. Пусть , тогда

Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный и расположена в интервале

В силу (1) дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале Откуда получаем соотношение

справедливое при всех значениях , по абсолютной величине меньших единицы [если , то выражения, стоящие в правой и левой частях равенства (2) теряют смысл]. Соотношение (2) является следствием формулы элементарной тригонометрии, выражающей тангенс через синус. Подобным же образом из равенства:

вытекает соотношение:

справедливое при всех действительных значениях .

Аналогичным образом обстоит дело с преобразованием арккосинуса в арккотангенс. В пределах дуга вполне определяется заданием значения косинуса или котангенса, поэтому из равенств:

следуют соотношения:

Положение дела меняется, если мы попытаемся преобразовать одну в другую аркфункции, значения которых содержатся в различных промежутках.

Рассмотрим функцию и попытаемся преобразовать ее в арккосинус. Для значений имеем:

Дуга имеет косинус, равный , и поэтому

Если

для функции же имеем:

Отсюда видно, что при отрицательных значениях написанное выше равенство выполняться не может, так как дуги и расположены в различных промежутках. В самом деле, при отрицательных значениях дуга заключена в I отрицательной четверти, дуга заключена в I четверти, так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень т. е. число положительное

Черт. 13

Расположение рассматриваемых дуг показано на чертеже 13. При отрицательных значениях имеем: , откуда и

Таким образом, имеем окончательно:

На чертеже 14 представлен график функции . Область определения есть сегмент , согласно равенству (5) закон соответствия может быть выражен следующим образом:

Черт. 14

Аналогичными рассуждениями легко показать, что при имеем

если то

Таким образом:

Перейдем к следующему примеру. Из соотношения

при имеем:

Если же , то

Итак,

Аналогично, если , то .

При имеем:

Итак,