Арксинус

Содержание

Обратные тригонометрические функции

Арксинус

Вспомним, какие существуют обратные тригонометрические функции и какими свойствами они обладают.

Для тригонометрической функции ,рассматриваемой при всевозможных действительных значениях переход к обратной функции невозможен. Так, например, значение функция при бесконечно многих значениях аргумента и по данному значению не представляется возможным найти одно единственное значение Однако переход к обратной функции станет возможным, если рассматривать не при произвольных значениях , а лишь в каком-либо промежутке, в котором синус является монотонным.

Черт. 1

Рассмотрим сегмент На этом сегменте возрастает от до 1 и, следовательно, значения и связаны взаимно-однозначным соответствием. Как показывает чертеж 1, сегменты и сегмент взаимно-однозначно отображаются друг на друга.

Итак, какая же функция называется арксинусом?

Определение. Функция, обратная функции на сегменте , называется арксинусом и обозначается так:

В геометрической терминологии определение арксинуса можно сформулировать следующим образом: есть дуга, взятая в пределах от до :

синус которой равен числу , где :

В силу определения, при любом значении |х| ≤ 1 имеют место неравенства:

На основании этого же определения имеем:

(синус дуги, синус которой равен ).

Рассмотрим эту функцию на примерах:

1) arc sin ;2) arc sin ; 3) arc sin ;

4) arc sin ; 5) arc sin ; 6) arc sin ;

7) arc sin ; 8) arc sin 3 не имеет смысла.

Обозначим основные свойства арксинуса:

1°. Функция на сегменте возрастает от до

Это следует из монотонности синуса и взаимной однозначности отображения друг на друга сегментов:

и

2°. При изменении знака аргумента функция изменяет знак, не изменяя абсолютной величины:

Покажем данные свойства арксинуса на примерах:

1) arc sin

2) arc sin

График арксинуса показан на чертеже 2.

Черт.2

Примеры нахождения дуги с помощью арксинуса:

1) На сегменте найти дугу имеющую синус, равный

Эту дугу можно найти так:

.

2) На сегменте найти дугу, синус которой равен

Так как и

то искомой дугой является дуга

.

3) На сегменте найти дугу, синус которой равен Так как

и

то искомой дугой будет дуга:

.