ЗАДАЧА №2

В процессе решения будем строить таблицу 2.1., пополняя корреляционную таблицу вспомогательными строками и столбцами.

1. Объём выборки: n=60. Вычислим частоты значений (i = 1,…..4, j= 1,…….5), по формулам , , дополнив корреляционную таблицу строкой значений и столбцом значений :

Проверка: = = n =60. Построим полигоны частот для Х и У.

Рис.7. Полигоны частот

На основании формы полигонов распределения признаков Х и У (с ростом значений признака частоты вначале растут, затем убывают), можно предположить, что между ними существует корреляционная связь.

2. Найдём числовые характеристики выборки: , , , . В процессе вычислений достроим таблицу 2.1., дополнив корреляционную таблицу ещё тремя строками и столбцами.

Таблица 2.1.

										2,5172	183,7586
										2,9091	186,1818
										4,6	105,8
										5,5
											596,7404

Используя таблицу 2.1., вычисляем требуемые величины.

Выборочные средние:

= = * 400 6,666;

= = * 182 3,033;

Средние по квадратам:

= = * 3810 63,5;

= = *620 10,333.

Выборочные средние квадратические отклонения:

;

1.0648;

3. Вычислим условные (групповые) средние = = , i=1,2,3,4, дополнив таблицу 2.1, столбцом значений

= 2,5172; = 2,9091;

= 4,6; = 5,5;

Вычислим среднюю по квадратам условных средних, дополнив таблицу 2.1 столбцом значений

= = =

Вычислим СКО групповых средних = = 0,864.

Корреляционное отношение = 0.8114

Поскольку > 0,5 то можно сделать вывод: между признаками Х и У существует достаточно тесная корреляционная связь.

4. Вычислим выборочный коэффициент линейной корреляции =

Для вычисления средних по произведениям используем суммы ,

= = = = 23,766

Выборочный коэффициент линейной корреляции = = 0,7633

Поскольку > 0,5 можно сделать вывод: между признаками Х и У существует достаточно тесная линейная корреляционная связь.

5. Найдём уравнение линейной регрессии У/Х в виде: y=kx+b

Вычислим коэффициенты уравнения линейной регрессии У/Х:

= 0,7633 0,186

- 3.033 – 0.186 * 6.666 1.793

Следовательно, уравнение линейной регрессии: у = 0,186х + 1,793

Построим таблицу 2.2 сравнения условных средних и их значений функции регрессии = 0,18х + 1,793 для .

Таблица 2.2

	2,5172	2,909	4,6	5,5
	2,351	3,281	4,211	5,141
	0,0276	0,1384	0,1513	1,1289

Вычислим среднюю квадратические ошибку уравнения регрессии

= = = = 0,34

Вывод: прямая регрессии = 0,18х + 1,793 достаточно хорошо согласуется с выборочными данными.

Построим эмпирическую ломаную и прямую регрессии на одном графике (рис.8.)

Рис.8. Ломаная и прямые линейной регрессии

6. Найдём интервальную оценку для углового коэффициента линейной корреляции с надёжностью γ=0,95. Интервальная оценка ( ; + ε) где ε= *

Ф( ) = /2 = 0,475. По таблице находим = 1,96, ε=

Следовательно ;

с надёжностью γ=0,95.

Получим уравнения предельных положений прямой регрессии.

= 0,0804, значит b= - 0,0804 = 2,497

= 0,2916, значит b= – 0,2916 = 1,082

Уравнения предельных положений прямой регрессии y=0.08x+2.497 и y=0.29x+1.08

7. Ответы: Между признаками Х и У существует достаточно тесная линейная корреляционная связь; уравнение прямой регрессии У/Х у = 0,186х + 1,793 достаточно хорошо согласуется с выборочными данными с надёжностью γ=0,95 можно утверждать, что уравнения предельных положений прямой регрессии y=0,08x+2,497 и y=0,29x+1,08