ЗАДАЧА №1.

РГЗ по математике

На тему

«Обработка экспериментальных данных»

Выполнила: студентка 2 курса,

Группы а(б)-211(1)

Доронина Ирина

Проверила: доцент кафедры

Мостовская Л.Г.

Мурманск 2012 год.

ВАРИАНТ

ЗАДАЧА №1.

Составим вариационный ряд, упорядочив выборку по возрастанию вариантов

Систематизируем выборку по 10 разрядам Объём выборки n=100, =19, =50, размах выборки d= = 31. Число разрядов s=8, длина разряда h=[d/8]+1=[31/8]+1=[3.875]+1=3+1=4.

Приняв за начало первого разряда ,получаем 8 разрядов [19;23), [23;27), [27;31), [31;35), [35;39), [39;43), [43;47), [47;51). Разряды, в которых эмпирические частоты n<8 следует объединить с соседними, поэтому объединяем 1 и 2 разряды, 7 и 8 разряды и получаем s=6 разрядов. Составим таблицу, отражающую статистическое распределение выборки по разрядам. Дополним таблицу 1.1 значениями относительных частот , где i=1,2,3,4,5,6,n=100, плотностей частот и плотностей относительных частот по разрядам, где =8 =8 и =4 для i=2,3,4,5.

Таблица 1.1

x
[19;27)		0,1	1,25	0,0125
[27;31)		0,16		0,04
[31;35)		0,17	4,25	0,0425
[35;39)		0,27	6,75	0,0675
[39;43)		0,19	4,75	0,0475
[43;51]		0,11	1,375	0,01375

Выполним проверку ∑ =100 Построим гистограмму относительных частот (рис 1,2) по 6 разрядам.

Рис1 Гистограмма частот Рис2. Гистограмма относительных частот

2. Составим статистическое распределение выборки (табл. 1.2),приняв середины разрядов за варианты . Найдём эмпирическую функцию этого распределения (x),для чего вычислим её значения: (x)= , где – сумма частот w по всем разрядам, в которых <x

Таблица 1.2.

i				(x)
			0.1
			0.16	0.1
			0.17	0.26
			0.27	0.43
			0.19	0.7
			0.11	0.89

когда x>4 (x) = 1

Получаем (x) =

Построим график эмпирической функции распределения (x).

Рис.3. График эмпирической функции распределения

Построим полигон частот n, и полигон относительных частот w (рис. 4,5)

Рис.4. Полигон частот Рис.5. Полигон относительных частот

3. Найдём числовые характеристики выборки.

Эмпирические начальные моменты: = , s=6,

= = ≈ 35,5;

= = ≈ 1304,6;

= = ≈ 49420.06;

= = ≈ 1922438.6;

Средняя выборочная: = = ≈ 35.5;

Эмпирические центральные моменты вычислим, используя их связь с начальными моментами:

= = 0;

= = 44, 35 ;

= = - 3 + 2 -42, 09 ;

= = - 4 + 6 - 3 4832, 792;

Выборочная дисперсия 44.35, выборочное СКО:

= 6,6596.

Асимметрия: = -0,1425, эксцесс -0,543

На основании формы полигонов распределения выборки и близости к нулю значений асимметрии и эксцесса делаем вывод, что распределение признака X, возможно, нормальное.

4. Выдвигаем гипотезу : распределение признака Х является нормальным распределением с параметрами а = , = . Запишем вид функции плотности нормального распределения f(x) с параметрами а = , = :

Запишем вид функции нормального распределения F(x) с параметрами а = , = :

F(x)= 0,5 +Ф( ) = .

Найдём теоретические частоты , используя функцию Лапласа Ф(х). Для вычисления теоретических частот используем таблицу 1.1.

Будем вычислять теоретические вероятности попадания значений x в i-й разряд [α,..β), i=1,…s, где s=6, по формулам:

, i=1,….s.

Где значение функции Лапласа находим по таблицам, считая условно, что .

Построим сравнительную таблицу 1.3. для частот . Соответствующих серединам разрядов

i
				-1,276353	-0,5	-0,3997	0,1003	10,03
			-1,276353	-0,675716	-0,3997	-0,2517	0,148	14,8
			-0,675716	-0,07508	-0,2517	0,0319	0,2836	28,36
			-0,07508	0,525557	0,0319	0,2019	0,17
			0,525557	1,126194	0,2019	0,3708	0,1689	16,89
			1,126194		0,3708	0,5	0,1292	12,92

Сделаем проверку = 100 =n. Сравним на графике (рис.6.) ломаные – полигоны эмпирических частот и теоретических частот .

Рис.6. Сравнение полигонов частот

Проверим гипотезу о нормальном распределении признака Х, используя критерий Присона χ² с заданным уровнем значимости a= 0,05.

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона 11,07906

По заданному уровню значимости a= 0,05 и числу степеней свободы k=s-3 = 3 находим по таблицам критическую точку критерия Пирсона = 7,8. Поскольку , то отвергаем гипотезу о нормальном распределении признака Х. Гипотеза противоречит выборочным данным при заданном уровне значимости a= 0,05.

5. Найдём интервальные оценки параметра а распределения признака Х генеральной совокупности для следующих уравнений надёжности: а)γ=0,95; б)γ=0,99; в)γ=0,9973;

Интервальная оценка представляет собой интервал ( ε; ε) = (35,5- ε; 35,5+ ε).

Поскольку СКО ГС неизвестно, а имеется лишь его оценка = 6,6596, то значение ε будем искать по формуле ε= , где находим по таблицам для соответствующего n=50 и γ.

а) γ=0,95; =1,984; ε=1.984*6.6596/10 1.32 → а (34,18; 36,82)

б) γ=0,99; =2,627; ε 1,7495 → а (33,75; 37,2495)

в) γ=0,9973; =3,392; ε 2,259 → а (33,241;37,759)