1.Доказать, что если функция 
удовлетворяет условиям теоремы 3 и является четной , то
где 
полюса функций в верхней полу-плоскости.
2.Доказать, что если функция удовлетворяет условиям теоремы 3 и является нечетной , то
где полюса функций в верхней полу-плоскости.
Задачи
1. Вычислить интегралы:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
Решение: а)воспользуемся формулой (1). Заменив 
на 
найдем функцию
Решая уравнение 
найдем особые точки функции 
являющиеся простыми полюсами. Из них только точка 
расположена в единичном круге. Следовательно,
б)функция
Удовлетворяет всем условиям, при выполнении которых справедлива формула (2). Она имеет в верхней полуплоскости два простых полюса 
поэтому
в)подынтегральная функция имеет в верхней полуплоскости один простой полюс 
и удовлетворяет всем условиям, при выполнении которых справедлива формула (3), поэтому
г)согласно теореме 3 и в силу четности подынтегральной функции
Так как функция 
имеет в верхней полуплоскости лишь один полюс 2 –го порядка 
то
д)положим 
и рассмотрим интеграл
Так как функция имеет в верхней полуплоскости лишь один простой полюс 
, то согласно теореме 3
Выделяя мнимую часть интеграла 
окончательно получим:
