Ответы и указания

1.а) устранимая особая точка, существенно особая точка; б) существенно особая точка, устранимая особая точка.

2.а) простые полюсы, полюсы 3- го порядка; б) полюс 2- го порядка, существенно особая точка; в) существенно особая точка, полюс 2- го порядка; г) устранимая особая точка, простые полюсы; неизолированная особая точка; д) существенно особые точки; неизолированная особая точка; е) полюс 2- го порядка; простые полюсы; неизолированная особая точка.

3.а) существенно особая точка; б) устранимая особая точка.

Занятие 14. Вычеты. Вычисление интегралов по замкнутому контуру

Пусть особая точка однозначного характера аналитической функции Вычетом функции в точке называется величина

где окружность с центром в точке такая , что внутри нее нет других особых точек, кроме и которая обходится против часовой стрелки. При вычетом функции в точке называется величина

где окружность с центром в начале координат такая, что вне нее нет других особых точек, кроме , и которая обходится против часовой стрелки.

Вычислять вычеты, исходя из определения, довольно сложно. На практике для их вычисления часто применяются следующие формулы:

1. Пусть ряд Лорана функции в окрестности точки имеет вид:

Тогда

2. Если устранимая особая точка функции

3. Пусть простой полюс функции и пусть где функции аналитичны в точке и Тогда

4. Пусть полюс порядка для функции Тогда

(2)

5.

6. Если аналитична в комплексной плоскости всюду, кроме конечного числа изолированных особых точек однозначного характера то

Вычисление многих интегралов по замкнутому контуру основано на следующей теореме о вычетах.

Пусть:

1) Функция аналитична и однозначна в области D всюду, кроме конечного числа изолированных особых точек и непрерывна на границе ;

2) Граница является кусочно-гладкой и обходится так, что область D остается слева.

Тогда