Теоретические упражнения

1.Показать, что вычет функции в устранимой особой точке равен нулю, если и может быть не равен нулю, если

2.Доказать, что вычеты четной функции в точках и равны нулю.

Задачи

1.Найти вычеты следующих функций во всех конечных изолированных особых точках и в точке если она не является неизолированной особой точкой:

а) б)

в) г)

д) е)

Решение: а) особыми точками функции являются точки простой полюс, полюс 2- го порядка и устранимая особая точка. Согласно формулам (1), (2) и (3):

б) особые точки функции: полюс 3-го порядка и существенно особая точка. По формуле (2)

Согласно (4) откуда

в)особыми точками функции являются точки неизолированная особая точка и простые полюсы. Так как где функции аналитичны в каждой точке и то по формуле (1)

Вычет в точке не определен;

г)особые точки функции: существенно особая точка и полюс 1- го порядка. И в окрестности нуля, и в окрестности бесконечности имеет разложение

Тогда

д)особые точки функции: существенно особая точка и устранимая особая точка. По формуле (3)

Согласно (4)

е)функция имеет две существенно особые точки и , в окрестностях которых

откуда найдем коэффициент при :

Тогда

2.Считая, что контур обходится против часовой стрелки, вычислить интегралы:

а)

б)

в)

г) γ :

д)

е)

Решение: а)контур γ является границей круга изображенного на рисунке. Из уравнения находим особые точки

подынтегральной функции , которые все являются простыми полюсами. В круге D эта функция имеет две особые точки и непрерывна на границе. Поэтому согласно (5)

Так как где функции аналитичны в точках и

0 2

то согласно (1)

и

б)подынтегральная функция имеет две особые точки и Так как контур является границей круга а подынтегральная функция в этом круге особых точек не имеет, т.е. аналитична и непрерывна на границе круга, то по интегральной теореме Коши или по формуле (5), где правая часть отсутствует, интеграл

в)контур является границей круга В этом подынтегральная функция имеет одну особую точку где вычет функции равен Следовательно,

г)подынтегральная функция имеет 10 особых точек: и различные корни уравнения . Точки и так как все расположены в круге и лишь одна особая точка расположена в области Если вычислить интеграл, рассматривая контур как границу круга то при этом придется вычислить 9 вычетов функции в точках и Если же вычислять интеграл, рассматривая как противоположно направленную границу области так как граница есть окружность , направленная по часовой стрелке, то при этом придется вычислить только один вычет Тогда

д)контур является границей круга где функция имеет две особые точки Так как то

е)Так как в любом круге подынтегральная функция имеет лишь одну особую точку то