Теоретические упражнения

1.Доказать, что если точка является устранимой особой точкой функции , то существует окрестность точки в которой ограничена.

2.Доказать, что если функция ограничена в некоторой окрестности своей изолированной особой точки , то является устранимой особой точкой.

Задачи

1.Найти особые точки следующих функций и, разлагая их в ряд Лорана, выяснить тип:

а) ; б)

Решение: а) функция не определена в точках , которые для нее являются изолированными особыми точками. Других особых точек функция не имеет. Так как разложение sin z в ряд Тейлора справедливо для всех z, то для всех конечных

Полученный ряд представляет собой ряд Лорана исследуемой функции как в окрестности нуля, так и в окрестности бесконечности. В окрестности точки этот ряд содержит 3 отрицательные степени (коэффициент при и равны 0), поэтому является полюсом порядка 3. В окрестности ряд содержит бесконечное число положительных степеней z, поэтому существенно особая точка;

б)функция имеет две особые точки и , в окрестности которых ряд Лорана имеет один и тот же вид:

откуда видно, что является существенно особой точкой, а - устранимой особой точкой.

2.Найти особые точки следующих функций и выяснить их тип:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ctg ; е) .

Решение: а)запишем функцию в виде

,

откуда видно, что особыми точками будут , и , в которых знаменатель обращает в нуль.

В окрестности точки функция имеет вид:

, ,

где , т.е. отличен от 0 и . Значит, – простой полюс.

В окрестности точка :

, ,

где отличен от 0 и . Значит, – полюс 2-ого порядка. Аналогично – полюс 2-ого порядка;

б) Записав функцию в виде , найдем особые точки токи , , и . Точки и являются простыми полюсами, а точка - существенно особой точкой, так как не существует;

в) точка и , в которых показатель функции обращается в , будут существенно особыми точками. Других особых точек у функции нет;

г) особыми точками будут , и точки, в которых знаменатель первой дроби обращает в нуль, т.е. откуда, находим:

,

Точка является неизолированной особой точкой, так как в любой окрестности этой функций, кроме самой особой точки , имеет бесконечно много других точек . Все остальные особые точки являются изолированными.

Применяя дважды правило Лопиталя, находим:

Значит, - устранимая особая точка.

Так как при

, а ,

то точки , являются простыми полюсами;

д) так как ctg = , то из уравнения найдем особые точки

, , ,

которые все являются изолированными. так как , а пределы

, ,

отличны от 0 и , то все эти точки являются простыми полюсами. Кроме этих точек для будет особой еще точка . Так как она является предельной точкой для множества полюсов
, то - неизолированная особая точка;

е) особыми точками функции будут точки , в которых и точка . Как и в случае 2, можно показать, что . – устранимые особые точки, а – неизолированная особая точка, так как она является предельной точкой множества .

3. Определить вид особенности функции в точке :

а) ; б)
Решение: а)точка является предельной точкой простых полюсов , данной функции и поэтому не является изолированной особой точкой;

б)данная функция аналитична на всей комплексной плоскости, поэтому в точке имеет изолированную особенность. Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности . Для этого вынесем в знаменателе z за скобки и, поскольку мы работаем в окрестности бесконечности, то и можем воспользоваться разложением функции в ряд Тейлора при :

Ряд не содержит положительных степеней , поэтому устранимая особая точка.