Ответы и указания

Если функция аналитична и однозначна некоторой окрестности точки всюду, кроме точки , то называется изолированной особой точкой однозначного характера функции , в противном случае называется неизолированной особой точкой.

Различают три типа изолированных особых точек однозначного характера.

1. Точка называется устранимой особой точкой функции , если существует и отличен от или ряд Лорана функции в окрестности точки не содержи отрицательных степеней при и не содержит положительных степеней z при .

2. Точка называется полюсом порядка m функции если причем отличен от нуля и , или ряд Лорана функции в окрестности точки содержит конечное число отрицательных степеней причем наивысший порядок отрицательной степени равен m, или в окрестноти точки можно представить в виде , где существует и отличен от 0 и .

Точка называется полюсом порядка m функции , если , причем отличен от 0 и , или ряд Лорана функции в окрестности точки содержит конечное число положительных степеней, причем наивысший порядок положительной степени z равен m , или в окрестности точки можно представить в виде , где существует и отличен от 0 и .

Полюс порядка 1 называется простым.

3. Точка называется существенной особой точкой функции , если не существует или ряд Лорана функции в окрестности точки содержит бесконечное число отрицательных степеней при или содержит бесконечное число положительных степеней z при

Часто встречаются функции видов:

Для них все полюса аналитической функции являются существенно особыми точками. В частности, функции имеют единственную особою точку , которая является существенно особой точкой.