Теоретические упражнения

1. Доказать, что если коэффициенты главной части ряда Лорана не равны нулю и существует конечный предел

кольце
2. Доказать, что если у ряда Лорана существует конечный

дится в кольце
3. Доказать, что если ряды имеют одну и ту же сумму f(z)в кольце , то (свойство единственности разложения в ряд Лорана).

Задачи

1.Функцию разложить в ряд Лорана в кольце и указать главную часть разложения.

Решение. Разложив функцию на простые дроби, имеем:

Так как , то для того, чтобы разложить полученные дроби в бесконечные убывающие геометрические ряды, вынесем в знаменателе первой дроби за скобку множитель z-1, а у второй дроби- множитель 3. Тогда

Главной частью полученного разложения будет ряд

содержащие только отрицательные степени z-1.

2. Следующие функции разложить в ряд Лорана в окрестностях указанных точек и найти главные части разложений:

а)

в)
б) ;

Решение: а) ряд Лорана в окрестности представляет собой ряд по степеням z. Считая z достаточно большим, имеем:

Главная часть разложения равна 0, так как полученный ряд не содержит положительных степеней z;

б)в окрестности точки

где ряд сходиться равномерно, в силу чего, продифференцировав обе части последнего равенства, получим:

откуда, поделив обе части на -2, находим:

Главная часть разложений равна 0;

в) записав в виде и воспользовавшись формулой разложения sin z в ряд Тейлора, которая справедлива для всех z, получим:

Главной частью разложения будет ряд в последнем равенства.

3. Найти коэффициент при в разложении функции в ряд Лорана в окрестности точки z= .

Решение. На основании формулы разложения в ряд Тейлора имеем

откуда находим, что коэффициент при равен