Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле
Свойства квадратичной функции при x равному (цветом выделены свойства при ):
Свойство
Дискриминант
Область определения
Множество значений при a>0
Множество значений при a<0
Нули функции
Положительные (отрицательные) значения
Везде, кроме точки
Везде
Отрицательные (положительные) значения
Отсутствуют
Промежуток убывания (возрастания) , если а>0
Промежуток возрастания (убывания) , если a>0
Минимальное (максимальное) значение
Заключение
В зависимости от того, какова природа области определения и области значений, различают случаи, когда эти области — это:
· абстрактные множества — множества без какой-либо дополнительной структуры;
· множества, которые наделены некоторой структурой.
В первом случае рассматриваются отображения в самом общем виде и решаются наиболее общие вопросы. Таким общим вопросом, например, является вопрос о сравнении множеств по мощности: если между двумя множествами существует взаимно однозначное отображение (биекция), то два данных множества называют эквивалентными или равномощными. Это позволяет провести классификацию множеств в виде единой шкалы, начальный фрагмент выглядит следующим образом:
· конечные множества — здесь мощность множества совпадает с количеством элементов;
· счётные множества — множества, эквивалентные множеству натуральных чисел;
· множества мощности континуума (например, отрезок действительной прямой или сама действительная прямая).
В соответствии с этим, имеет смысл рассматривать следующие примеры отображений:
· конечные функции — отображения конечных множеств;
· последовательности — отображение счётного множества в произвольное множество;
· континуальные функции — отображения несчётных множеств в конечные, счётные или несчётные множества.
Во втором случае, основной объект рассмотрения — заданная на множестве структура и то, что происходит с этой структурой при отображении: если существует взаимно однозначное отображение одной структуры в другую, что при отображении сохраняются свойства заданной структуры, то говорят, что между двумя структурами установлен изоморфизм. Таким образом, изоморфные структуры, заданные в различных множествах, невозможно различить, поэтому в математике принято говорить, что данная структура рассматривается «с точностью до изоморфизма».
Существует великое разнообразие структур, которые могут быть заданы на множествах. Сюда относится:
· структура порядка — частичный или линейный порядок.
· алгебраическая структура — группоид, полугруппа, группа, кольцо, тело, область целостности или поле.
· структура метрического пространства — здесь задаётся функция расстояния;
· структура евклидового пространства — здесь задаётся скалярное произведение;
· структура топологического пространства — здесь задаётся совокупность т. н. «открытых множеств»;
· структура измеримого пространства — здесь задаётся сигма-алгебра подмножеств исходного множества (например, посредством задания меры с данной сигма-алгеброй в качестве области определения)
Природа множеств определяет и свойства соответствующих функций, поскольку эти свойства формулируются в терминах структур, заданных на множествах. Например, свойство непрерывности требует задания топологической структуры.
Литература
· Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
· Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. М.—Л., 1933.
· И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13—21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
· А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд. — М.: Наука, 1972. — С. 14—18. — 256 с.
· Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 19—27. — 423 с.
· В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Фунция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23—36. — 544 с.
· Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 65—69. — 528 с.
· А. Н. Колмогоров. «Что такое функция»
// «Квант». — М.: «Наука», 1970. — В. 1. — С. 27—36. — ISSN 0130-2221
(цветом выделены свойства при 
):
