Числовая последовательность, способы ее задания, действия над последовательностями. Ограниченные и неограниченные последовательности.

-Числовая последовательность – это функция заданная на множестве натуральных чисел.

Общий элементпоследовательности является функцией от n.

-Таким образом последовательность может рассматриваться как функция.

- Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Способ задания посл-ти:

--Аналитический Формула общего члена позволяет найти любой член последовательности по его номеру:

--Рекуррентный. Последующий член последовательности находят с помощью одного или нескольких предыдущих его членов.

а)арифметическая прогрессия

б)геометрическая прогрессия

в) числа Фибоначчи:

(1,1,2,3,5,8,13,21,34)

--Описательный. Числовую последовательность считают заданной, если указывают способ получения его любого члена.

Для последовательностей можно определить следующие операции:

1)Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, …\

2)Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}.

3)Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.

5)Частное последовательностей: при {yn} ¹ 0.

--- Ограниченные и неограниченные последовательности.

--Последовательность {xn} называетсяограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

--Последовательность {x_n} называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

--Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что xn ³ M

Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

--Последовательность называется ограниченной с верху и с низу, если существует число M,(m)эR: следует, что