Задачи и упражнения для самостоятельной работы

12. Вычислите определитель:

13. Не раскрывая определитель, докажите справедливость равенства:

14. Решите уравнение:

15. Решите неравенство:

16. Найдите члены определителя содержащие x⁴ и x³.

17. Найдите обратную матрицу для матрицы:

18. Найдите обратную матрицу для "блочной" матрицы

где E_k и E_l − единичные матрицы k-го и l-го порядков, B — произвольная k × l-матрица, Q − k × l-матрица, все элементы которой равны нулю.

19. Используя обратную матрицу, найдите матрицу X, удовлетворяющую уравнению:

20. Докажите справедливость равенств:

а) (А⁻¹)⁻¹ = А; б) (АB)⁻¹ = B⁻¹ А⁻¹;
в) (А⁻¹)^T = (А^T)⁻¹; г) (А⁻¹)ⁿ = (Аⁿ)⁻¹.

21. Как изменится обратная матрица А⁻¹, если в матрице А:
а) переставить местами k-ю и l-ю строки; б) k-ю строку умножить на число х ≠ 0; в) к k-й строке прибавить l-ю, умноженную на число х?

22. Вычислите:

а) определитель n-го порядка

;

б) определитель Вандермонда

.