Определители

Примеры решения задач

1. Вычислить определитель

Решение.

I способ. По правилу треугольников D = 1 · 5 · (−1) + (−2) · 7 · (-3) + 2 · 4 · 0 − 0 · 5 · (−3) − (−2) · 2 · (−1) − 1 · 4 · 7 = 5.

II способ. Разложим определитель D по элементам первого столбца, а для нахождения алгебраических дополнений воспользуемся формулой A_ij = (−l)^i+jM_ij. Получим

.

2. Вычислить определитель

.

Решение.

Преобразуем определитель D, не меняя его значения, таким образом, чтобы все элементы первого столбца, кроме a₂₁ = 1, стали равными нулю. С этой целью из первой строки вычтем вторую, умноженную на 2, к третьей строке прибавим вторую, а из четвертой строки вычтем вторую, умноженную на 4 (при этом значение определителя не изменится). Получим

.

Разложим определитель D по элементам первого столбца:

.

Чтобы вычислить полученный определитель третьего порядка, снова воспользуемся разложением по элементам первого столбца:

.

3. Вывести формулу для вычисления определителя n-го порядка

.

Решение.

Разложим определитель D_n по элементам первого столбца:

.

Определитель во втором слагаемом справа разложим по элементам первой строки. В результате получим рекуррентную формулу

Учитывая, что , по рекуррентной формуле можно последовательно найти D₃, D₄, ... Например,

D₃ = pD₂ − c² D₁ = p(p² − c²) − c²p = p³ − 2c²p

Выведем формулу для непосредственного вычисления D_n. С этой целью разобьем число р на сумму двух слагаемых (пока неизвестных), р = a + b, и запишем рекуррентную формулу (2) в двух видах:

Выберем теперь числа a и b так, что ab = c² (для этого нужно взять a и b равными корням квадратного уравнения x² −px + c² = 0, тогда a и b = p и ab = c²). Рекуррентные формулы перепишем в виде

D_n − aD_n−1 = b(D_n−1 − aD_n−2), D_n − bD_n−1 = a(D_n−1 − bD_n−2).

Мы видим, что при указанном выборе чисел а и b величины D_n − aD_n−1 образуют геометрическую прогрессию со знаменателем b, а величины D_n − bD_n−1 — геометрическую прогрессию со знаменателем а. По формуле общего члена геометрической прогрессии получаем

D_n − aD_n−1 = bⁿ⁻²(D₂ − aD₁), D_n − bD_n−1 = aⁿ⁻²(D₂ − bD₁).

Если а ≠ b, то из этой системы уравнений находим формулу для вычисления D_n:

D_n = xaⁿ + ybⁿ,

где

.

В случае а = b получите формулу для вычисления D_n самостоятельно.

4. Найти обратную матрицу для матрицы

.

Решение.

Так как det А = 2 ≠ 0, то матрица А невырожденная и, следовательно, имеет обратную. Элементы b_ij обратной матрицы находим по формуле , где A_ji − алгебраическое дополнение элемента a_ji матрицы A. В свою очередь для вычисления A_ji пользуемся формулой A_ji = (−l)^i+jM_ji. Имеем

Итак

.

Замечание. Удобный практический подход к вычислению матрицы А⁻¹ состоит в следующем. Сначала записываем транспонированную матрицу для данной матрицы А:

.

Затем составляем матрицу А^*, элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А^T (матрица А^* называется присоединенной по отношению к матрице А):

.

И наконец, умножив матрицу А^* на число , получаем искомую обратную матрицу А⁻¹:

.

5. Найти матрицу X, удовлетворяющую уравнению

.

Решение.

Введем обозначения , . Тогда данное уравнение можно записать в виде

АХ = B.

Так как detА = 1, то матрица А имеет обратную. Умножим обе части уравнения на матрицу А⁻¹ слева:

А⁻¹АХ = А⁻¹B.

Так как А⁻¹А = E (единичная матрица) и EХ = X, то X = А⁻¹B.

Итак, для нахождения матрицы X нужно найти матрицу А⁻¹ и умножить на матрицу B. Имеем

.

ГЛАВА I. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. § 2