Определители

Контрольные вопросы и задания

1. Объясните, что такое беспорядок в данной перестановке чисел 1, 2,..., n. Чему равно число беспорядков в перестановке 3, 2, 5, 4,1?

2. Объясните, что такое определитель n-го порядка. Из скольких слагаемых он состоит?

3. Назовите элементы, расположенные на главной диагонали, и элементы, расположенные на побочной диагонали, в определителе матрицы (a_ij)_4×4

4. Чему равен det(a_ijd_ij)n×n, где d_ij − символ Кронекера?

5. Треугольной матрицей называется матрица, у которой все элементы, стоящие по одну сторону от главной или побочной диагонали, равны нулю. Чему равен определитель треугольной матрицы?

6. Известно, что detА = 1. Чему равен detА^T?

7. Опираясь на свойство 2° определителей, докажите свойство 3°.

8. Известно, что А − 5 × 5-матрица и det А = 3. Чему равен det(2А)?

9. Изменится ли определитель, если к элементам первого столбца прибавить соответствующие элементы всех остальных столбцов?

10. Объясните, что такое алгебраическое дополнение данного элемента a_ij определителя. Чему равно алгебраическое дополнение элемента a₁₂ матрицы (a_ij)_2×2?

11. Объясните, что такое минор данного элемента a_ij матрицы. Чему равен минор элемента a₁₂ матрицы (a_ij)_2×2?

12. Как связаны между собой алгебраическое дополнение и минор данного элемента?

13. Что значит разложить определитель по элементам данного столбца (строки)?

14. Какая матрица называется невырожденной? Приведите пример невырожденной матрицы.

15. Из трех матриц А, B и C n-го порядка одна вырожденная. Чему равен det (АBC)?

16. Как связаны невырожденность матрицы и существование у нее обратной матрицы?

17. Напишите формулу для вычисления элементов обратной матрицы. Составьте обратную матрицу для матрицы .

18. Вычислите устно определители и .

ГЛАВА I. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. § 2