Свойства определителей.

1°. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется, т. е. det А = det А^T.

2°. При перестановке местами двух столбцов определитель меняет знак, а его абсолютная величина не изменяется.

3°. Определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю.

4°. Если элементы j-го столбца определителя D имеют вид

a_ij = xb_i + yc_i, i = 1, 2, ..., n

(т. е. если j-й столбец является линейной комбинацией столбцов и с коэффициентами x и y), то D = xD_j(b_i) + yD_j(c_i), где D_j(l_i) — определитель, получающийся из определителя D заменой j-го столбца на столбец с элементами l_i(i = 1, 2, ..., n).

5°. Общий множитель элементов какого-либо столбца определителя можно вынести за знак определителя. Другими словами, если для элементов j-го столбца определителя D выполняются равенства

a_ij = xb_i, i = 1, 2, ..., n

то

D = xD_j(b_i).

6°. Если все элементы какого-либо столбца определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

7°. Если к элементам какого-либо столбца определителя прибавить соответствующие элементы любого другого столбца, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

Свойства 2°−7° имеют место и для строк определителя.

Теорема 1. Если А и B — квадратные матрицы одного порядка, то det АB = det А · det B.

3. Алгебраические дополнения и миноры. В сумме

выделим ту группу слагаемых, которые содержат в качестве сомножителя определенный элемент a_ij, и в этой группе слагаемых вынесем a_ij за скобки. Число, получившееся в скобках, называется алгебраическим дополнением элемента a_ij и обозначается A_ij.

Если в матрице А = (a_ij)_n×n вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец, то получим квадратную матрицу (n − 1)-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором элемента a_ij и обозначается M_ij.

Справедливы следующие утверждения.

1. A_ij = (−l)^i+jM_ij.

2. Определитель равен сумме произведений элементов какоголибо столбца (строки) на алгебраические дополнения этих элементов, т. е.

.

Это равенство называется разложением определителя по элементам j-го столбца (i-й строки).

3. Сумма произведений элементов какого-либо столбца (строки) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю, т. е.

.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если det А ≠ 0.

Теорема 2. Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной. Элементы b_ij обратной матрицы А⁻¹ вычисляются по формуле

где А_ij — алгебраическое дополнение элемента a_ij матрицы А.

4. Практическое вычисление определителей. Вычисление определителя n-го порядка на основе определения, т. е. нахождение суммы n! слагаемых, не является эффективным способом при n ≥ 4. Более удобно сначала преобразовать определитель, не меняя его значения, к такому виду, чтобы все элементы какого-то столбца (например, j-го) равнялись нулю, за исключением, быть может, одного элемента. Это можно сделать путем прибавления к строкам определителя какой-то одной из строк с соответствущими сомножителями. При этом в силу свойства 7° определитель не изменится. Далее нужно разложить определитель по элементам j-го столбца. Так как лишь один элемент j-го столбца отличен от нуля (пусть это будет a_ij), то в разложении останется лишь одно слагаемое: det А = a_ijА_ij.

В свою очередь A_ij = (−l)^i+jM_ij, где M_ij — определитель (n − 1)-го порядка (минор элемента a_ij). Для его вычисления можно воспользоваться тем же приемом − приведением к такому виду, в котором все элементы какого-то столбца определителя M_ij (за исключением одного) равны нулю. Применение этого приема показано в примере 2.

Вычисление определителей второго и третьего порядков можно проводить, опираясь непосредственно на определение. В соответствии с определением det(a_ij)_2×2 = a₁₁ a₂₂ − a₁₂ a₂₁, т. е. определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Определитель третьего порядка равен сумме шести (3! = 6) слагаемых. Для их составления удобно использовать правило треугольников. Произведение элементов, стоящих на главной диагонали, а также произведения элементов, являющихся вершинами двух треугольников

а

б

Рис. 1

на рис. 1, а, берутся со множителем +1, а произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, а также произведения элементов, являющихся вершинами двух треугольников на рис. 1, б, берутся со множителем −1, т. е.

det А = a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₂₁ a₁₃ a₃₂ − a₁₃ a₂₂ a₃₁ − a₁₂ a₂₁ a₃₃ − a₁₁ a₂₃ a₃₂.

Для определителей с буквенными (не числовыми) элементами иногда удается получить рекуррентное соотношение, что дает возможность найти определитель (см. пример 3).

ГЛАВА I. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. § 2