Основные понятия и теоремы

Определители

1. Определитель n-го порядка. Квадратная матрица n-го порядка

содержит n² элементов. Выберем какие-нибудь n элементов так, чтобы среди них было ровно по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца, и составим их произведение, расположив сомножители в порядке возрастания номера столбца:

Здесь a₁, a₂, ..., a_n − не равные друг другу натуральные числа (номера строк), каждое из которых принимает какое-то значение от 1 до n, т. е. a₁, a₂, ..., a_n − перестановка чисел 1, 2, ..., n.

Говорят, что числа a_i и a_j образуют беспорядок в перестановке a₁, a₂, ..., a_n, если a_i > a_j и a_i расположено левее a_j, т. е. i < j. Число всех беспорядков в перестановке a₁, a₂, ..., a_n обозначим N(a₁, a₂, ..., a_n). Например, N(3, 1, 4, 2) = 3, N(1, 2, 3, 4, 5) = 0.

Составим всевозможные произведения вида (1). Число таких произведений равно числу всевозможных перестановок чисел 1, 2, ..., n, т. е. равно n!. Умножим каждое из этих произведений на

(−1)^N(a₁^{, a}₂^{, ..., a}_n⁾

и сложим. Полученная сумма

называется определителем матрицы А или определителем n-го порядка и обозначается одним из следующих символов:

Элементы, столбцы и строки матрицы А называются также элементами, столбцами и строками ее определителя. Говорят, что элементы a₁₁, a₂₂, ..., a_nn расположены на главной диагонали определителя, а элементы a_1n, a_{2, n−1}, ..., a_n1 — на побочной диагонали.