Принцип эквивалентности процентных ставок

В финансовой практике нередко возникают ситуации, когда необходимо заменить одно финансовое обязательство другим (например, с более отдаленным сроком платежа) или объединить несколько обязательств в одно (консолидировать платежи) и т.п. При этом возникает вопрос о принципе, согласно которому должны проводиться изменения условий соглашения. Подобным принципом является финансовая эквивалентность обязательств, которая предполагает неизменность финансовых отношений сторон до и после изменений условий платежей. Принцип финансовой эквивалентности позволяет решать задачи по изменению условий сделок – объединению нескольких платежей в один, замене одного количества платежей другим, изменению сроков платежей, их размеров и т.д.

Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи приведенными к одному и тому же моменту времени, окажутся равными [4, с.19].

Две процентные ставки называются эквивалентными, если при замене одной ставки на другую финансовые отношения сторон не меняются. Таким образом, участникам финансового соглашения безразлично, какая ставка будет фигурировать в контракте[10, с.171].

Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнения эквивалентности, принцип составления которых заключается в следующем. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок (обычно это наращенная сумма S). На основе равенства двух выражений для данной величины и составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида.

Рассмотрим случай, когда все условия финансовой операции совпадают, т. е. первоначальный капитал, временная база, метод расчета (точный или обыкновенный) процентов и период начисления одинаковы. В противном случае применяются те же рассуждения и преобразования, только полученные формулы будут содержать несколько большее количество переменных.

Повторим формулы для определения наращенной суммы при различных способах начисления процентов, полученные ранее:

; (1.7)

; (1.8)

; (1.20)

; (1.23)

; (1.28)

; (1.38)

и т. д. (1.42)

Приравнивая эти формулы попарно, можно получить соотношения, выражающие зависимость между любыми двумя различными процентными ставками.

Рассмотрим несколько случаев.

Приравнивая соотношения(1.7) и (1.20), получим

,

откуда

; (1.51)

. (1.52)

Выражения (1.51) и (1.52) являются эквивалентными с простой ставкой ссудных процентов и простой учетной ставкой, так как они обеспечивают одинаковую доходность ссудной операции.

Если срок ссуды измеряется в днях, тогда

,

где Y_r и Y_d – временные базы для начисления процентов по ссудной и учетной ставкам, которые могут быть различными.

Следовательно,

; (1.53)

. (1.54)

Полученные эквивалентные ставки r и d могут быть использованы при сравнении доходности сделок, в которых применяются различные виды ставок. Из приведенных выше формул легко заметить, что с уменьшением n (t/Y) различие между эквивалентными ставками r и d становится менее заметным.

Из формул (1.7) и (1.23) для определения эквивалентных значений простых и сложных ссудных процентных ставок имеем:

.

Отсюда, ставка простых ссудных процентов, эквивалентная ставке сложных процентов, равна:

. (1.55)

Ставка сложных процентов, эквивалентная ставке простых процентов:

. (1.56)

Из выражений (1.55) и (1.56) следует, что эквивалентные процентные ставки существенно зависят от срока начисления процентов n.

Если необходимо определить эквивалентные значения простой и номинальной ставок ссудных процентов, то составляют уравнение эквивалентности, приравнивая формулы (1.7) и (1.28):

.

Отсюда получаем

; (1.57)

. (1.58)

Если необходимо определить эквивалентные значения простой учетной и сложной ссудной ставки процентов, то составляют следующее уравнение эквивалентности, приравниваю выражения (1.20) и (1.23):

,

где – период начисления учетной ставки;

– период начисления ссудной процентной ставки.

Следовательно,

; (1.59)

. (1.60)

С другой стороны,

(1.61)

(1.62)

Приравнивая (1.23) и (1.38), получаем уравнение эквивалентности для определения эквивалентных сложных ссудных и сложных учетных ставок:

.

Отсюда ; (1.63)

. (1.64)

Или .

Тогда (1.65)

; (1.66)

; (1.67)

. (1.68)

Рассмотрим, какое соотношение существует между номинальной и соответствующей ей сложной ссудной годовой процентными ставками. Составим уравнение эквивалентности, приравнивая (1.23) и (1.28).

.

Отсюда

; (1.69)

(1.70)

Полученная по формуле (1.69) годовая ставка сложных процентов, эквивалентная номинальной процентной ставке, называется эффективной ставкой сложных процентов.

Ставка j/m называется релятивной процентной, рассчитываемой за полгода, квартал, месяц, и т.д. Номинальную ставку находим по формуле

. (1.71)

Замена в договоре номинальной ставки j при условии, что она начинается m раз в год, на эффективную r_c не изменяет финансовых результатов.

Эффективную ставку сложных процентов полезно знать, чтобы оценить реальную доходность финансовой операции, или сравнить процентные ставки в случае, когда используются различные интервалы начисления

Очевидно, что значение эффективной процентной ставки больше значения номинальной, а совпадают они при m=1.

Проанализировав полученные формулы, можно сделать два замечания.

1. Эквивалентность различных процентных ставок никогда не зависит от величины первоначальной суммы Р (для данного рассматриваемого случая, когда первоначальна сумма Р предполагается одинаковой).

2. Эквивалентность процентных ставок всегда зависит от продолжительности периода начисления за исключением случая эквивалентности между собой сложных процентных ставок разного вида (если период начисления один и тот же).

Используя для вычисления формулы (1.23) и (1.39), можно построить таблицу, отражающую зависимость между эквивалентными процентными ставками и ставками ссудных процентов (таблица 4).

Таблица 4 – Зависимость между эквивалентными сложными учетными d_c и сложными ссудными r_c ставками процентов

(%)	(%)	(%)	(%)
	5,26
	6,40
	8,70
	11,0
	25,0
	43,0
	66,7
	82,0

Из таблицы 4 видно, что небольшие учетные ставки имеют эквивалентные ставки ссудного процента, сопоставимые по величине, но с ростом учетных ставок разница увеличивается очень быстро.

Рассмотрим примеры по изложенной теме.

Пример 1.12. Необходимо определить значение простой учетной ставки, эквивалентной простой ссудной ставке, равной 10%.

Решение

По формуле (1.52) находим:

(9,09%).

Таким образом, операция, в которой фигурирует простая учетная ставка 9,09%, дает для годового периода такой же финансовый результат, что и простая ссудная ставка процентов, равная 10% годовых.

Пример 1.13. Определить, под какую ставку процентов выгоднее поместить капитал в размере 10000 руб. на 5 лет:

а) под простую ссудную ставку процентов 22% годовых;

б) под номинальную ссудную ставку в 18% при ежеквартальном начислении?

Решение

В данном случае не обязательно считать величину наращенной суммы, получаемой при различных процентных ставках.

Достаточно найти, например, простую ссудную ставку, эквивалентную данной номинальной ставке, воспользовавшись формулой (1.57):

(28,2%).

Так как простая процентная ставка (28,2%), которая дала бы одинаковый с данной номинальной процентной ставкой результат, значительно превышает предложенную (22%), ясно, что гораздо выгоднее использовать номинальную процентную ставку. Посчитаем теперь наращенные суммы, получаемые в двух случаях, что бы увидеть, насколько более выгодна сложная ставка. Используем для этого формулы (1.7) и (1.28).

a)S=10000(1+5^.0,22)=21000руб.

б)S=10000(1+0,045) =24117 руб.

Ощутимая разница в результатах подтверждает сделанный ранее вывод. Можно заметить, что решение примера с использованием эквивалентных процентных ставок требует в два раза меньше вычислений.