Сложные учетные ставки

Рассмотрим теперь антисипативный способ начисления сложных процентов.

Пусть

d_c(%) – сложная годовая учетная ставка;

d_c – относительная величина сложной учетной ставки;

k_н.у. – коэффициент наращения;

f – номинальная годовая учетная ставка.

Тогда по прошествии первого года наращения сумма S₁ в соответствии с формулой (1.20) составит:

Еще через год эта формула будет применяться уже к сумме S₁:

и т.д. аналогично случаю сложных ставок ссудных процентов. По происшествии n лет наращения сумма составит:

(1.38)

Отсюда для множителя наращения имеем

(1.39)

Сравнивая формулы (1.23) и (1.38), легко увидеть, что при равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы во втором случае (антисипативный метод) идет быстрее.

Поэтому в литературе часто можно встретить утверждение, что декурсивный метод начисления более выгоден для заемщика, а антисипативный – для кредитора. Это можно считать справедливым лишь для небольших процентных ставок, когда расхождение не столь значительно. Но с ростом процентной ставки разница в величине наращенной суммы становится огромной (при этом она сама растет с возрастанием n), и сравнение двух методов с точки зрения выгодности утрачивает смысл.

Из формулы (1.38) так же явствует, что для периодов начисления, превышающих один год, учетная ставка может принимать значения только меньше (т.е. не достигающие) 100%, иначе величины P или S не будут иметь смысла, становясь бесконечными или даже отрицательными. Наращенная сумма S очень быстро увеличивается с ростом d, стремясь к бесконечности, когда d(%) приближается к 100%.

Так же, как и при декурсивном способе, важны различные варианты начисления антисипативных процентов (начисление за короткий – меньше года – интервал, наращение m раз в году и т.д.) им будут соответствовать формулы, полученные аналогичным образом. Так для периода начисления, не являющегося целым числом, имеем

(1.40)

При учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, наращенная сумма превращается в

(1.41)

где n₁, n₂…,n_N – продолжительность интервалов начисления в годах;

d₁,d₂…, d_N – учетные ставки, соответствующие данным интервалам.

Для начисления процентов m раз в году формула имеет такой вид:

(1.42)

или

(1.43)

где mn – целое число интервалов начисления за весь период начисления;

l – часть интервала начисления.

При непрерывном начислении процентов S рассчитывается по формуле:

(1.44)

Из полученных формул путем преобразований получаем формулы для нахождения первоначальной суммы, срока начисления и величины учетной ставки:

(1.45)

(1.46)

(1.47)

(1.48)

(1.49)

(1.50)

Пример 1.10.Первоначальная сумма долга равняется 2500 руб. Определить величину наращенной суммы через 3 года при применении декурсивного и антисипативного способов начисления процентов. Годовая ставка – 8 %.

Решение

По формулам (1.23) и (1.38) получаем:

Данный пример наглядно демонстрирует ощутимость различия в результатах при разных способах начисления процентов.

Пример 1.11.Долговое обязательство номинальной стоимостью 500000 руб. должно быть погашено через пять лет. Владелец обязательства предложил его сразу банку для учета, то есть за 5 лет до погашения. Банк согласился учесть его по номинальной учетной ставке 20% годовых. Определить сумму, полученную владельцем обязательства, если начисление процентов происходит ежеквартально.

Решение

По формуле (1.46):