Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисление доход, т.е. начисленные за данный период проценты не выплачиваются, а присоединяются к денежной сумме, имеющийся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложения процентов. Сложные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.

Пусть

r_c – относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;

k _н.с. – коэффициент наращения функции в случае сложных процентов;

j – номинальная ставка сложных ссудных процентов.

Если за интервал начисление принимается год, то по прошествии первого года наращенная сумма в соответствии с формулой (1.7) составит:

_.

Еще через год это выражение применяется уже к сумме S₁:

и так далее. Очевидно, что по прошествии n лет наращенная сумма составит:

(1.23)

Множитель наращения k_н.с. соответственно будет равен:

(1.24)

При начислении простых процентов он составил бы по формулам (1.5) и (1.7):

Сравнивая два последних выражения для коэффициента наращения, можно заметить, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Рассчитаем будущую стоимость суммы 1 руб. при различных сроках операции, если используется ставка в размере 10%. Результаты расчетов приведем в таблице 2.

Таблица 2 – Наращенная сумма при использовании простой и сложной ставок ссудного процента

Из данных таблицы видим, что при сроке операции до одного года наращенная сумма, полученная по простой ссудной ставке, незначительно превышает сумму, полученную по сложной ссудной ставке. Однако при сроке операции свыше одного года сумма, наращенная по сложной процентной ставке, уже через небольшое количество интервалов начисления превысит сумму, наращенную по простой ставке. Различие в результатах будет тем больше, чем выше процентная ставка и больше срок ссуды. При сроке ссуды, выдаваемой на 1 год, начисления одинаковы [12, с.26].

Если срок ссуды n в годах не является целым числом, то формула (1.23) дает приблизительный (и весьма неточный) результат. Поэтому используют другой подход [13, с.17]. Множитель наращения определяют по выражению:

(1.25)

при этом ;

где n_a – целое число лет;

n_b – оставшаяся дробная часть года.

На практике в данном случае часто предпочитают пользоваться формулой (1.23) с соответствующими нецелым показателем степени. Но нужно иметь в ввиду, что с точки зрения сущности начисление процентов этот способ является приблизительным, и погрешность при вычислениях будет тем больше, чем больше значение входящих в формулу величин. Также следует учитывать, что приблизительный метод дает меньший, чем в действительности, результат.

Предположим теперь, что уровень ставки сложных процентов будет разным на различных интервалах начисления.

Пусть n_1,n_2,...,n_N – продолжительность интервалов начисления в годах;

r_1,r_2,...,r_N – годовые ставки процентов, соответствующие данным интервалам.

Тогда наращенная сумма в конце первого интервала начисления в соответствии с формулой (1.7) составит:

В конце интервала

и т.д.

При N интервалах начисления наращенная сумма в конце всего периода начисления составит:

(1.26)

Если все интервалы начисления одинаковы (как и бывает обычно на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, формула (1.26) принимает вид

(1.27)

Начисление сложных процентов может осуществиться не один, а несколько раз в год. В этом случае оговариваются номинальная ставка процентов j– годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемой на каждом интервале начисления.

При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставки j эта величина считается равной j/m. Если срок ссуды составляет n лет, то, аналогично формуле (1.23), получаем выражение для определения наращенной суммы:

(1.28)

где m – число периодов начисления в году;

mn – общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то выражение (1.28) принимает вид

(1.29)

где mn – целое число интервалов начисления,

l – часть интервала начисления,

Для целого числа периодов начисление используется формула сложных процентов (1.23), а для оставшейся части – формула простых процентов (1.7).

В настоящее время наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и деньги). Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретными.

В мировой практике применяются также непрерывное начисление сложных процентов (т.е. продолжительность интервала начисления стремиться к нулю, а m – к бесконечности). В этом случае для начисления наращенной суммы служит следующее выражение [15, с.61]:

. (1.30)

Так как согласно второму замечательному пределу , где е~2,71828, то формула (1.30) для нахождения наращенной суммы за n лет при непрерывном начислении процентов принимает вид:

(1.31)

Пример 1.8.Рассчитать накопленную сумму для различных вариантов начисления процентов за один год, если исходная сумма 1000 руб. и номинальная годовая процентная ставка равна 10%.

Результаты расчетов приведем в виде таблицы 3.

Таблица 3 – Результаты расчета наращенной суммы для различных вариантов начисления процентов

Приведенные расчеты подтверждают наличие прямой зависимости между частотой начисления процентов и наращенной сумой [10, с.150].

Аналогично случаю простых процентов полученной формулы можно преобразовывать, выражая одни величины через другие в зависимости от того, что известно, а что требуется найти.

Так, из формулы (1.23) получаем

. (1.32)

Как и в случае простых процентов, определение современной величины суммы S называется дисконтированием.

В формуле (1.32) используется коэффициент дисконтирования k_d.