с постоянными коэффициентами

Пусть дано уравнение:

(1)

,

И соответствуюшее ему однородное уравнение

(2)

Как уже отмечалось, общее решение уравнения (1) можно представить в виде

где

- общее решение однородного уравнения (2);

- частное решение уравнения (1)

Заметим, что справедливо так же теорема о суперпозиции решений; если

-решение уравнения

-решение уравнения

, то

- решение уравнения

Нахождение частного решения линейного неоднородного разностного уравнения n-го порядка по виду правой части.

(1) Известные числа

b-известно

Вид частного решения :

-неизвестные коэффициенты

Сравним b с корнями характеристического уравнения:

если

появляется множитель

(2)

коэффициенты многочленов b- известно и

- степени многочленов

Обозначим

частное решение имеет вид:

коэффициент многочленов степени «m» нам неизвестены коэффициенты

Если среди корней характеристического уравнения нет комплексных, то r=0.

Пусть среди корней есть комплексные крайности «r»

Найдем

Запишем показательную формулу этого числа

Сравним два числа:

и

если , то r=0

если , то появится множитель

Рассмотрим пример

Пусть имеем некоторое линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка.

Сначала составим характеристическое уравнение для соответствующего однородного и найдем его корни

Корни

1. Запишем: в=1, m=0 ( cстепень ногочлена)

1) если , то

2) , то

1) , то

2. в=5; m=0

1) если , то

2) если , то

3) если , то

3.

Запишем:

1) , то

2) , то

4.

1) , то

2) , то

5.

Запишем:

1 Если то

2)если

6.

1) если , то

2)если

Теперь рассмотрим решение конкретных примеров

Пример 1. Найдём общее решение

Приведем к стандартному виду.

Сделаем сдвиг на m =6 узлов (+6)

1. однородное уравнение

2. характеристическое уравнение:

Ф.С.Р.

Общее решение однородного уравнения

2.

q=b ( кратность r=2)

Частное решение ищем в виде:

Вычисляем подставляем в левую часть и приравниваем к правой части

3. общее решение

Пример 2.

y(k-4)-5y(k-5)+6y(k-6)=2^k

Найти частное решение, если начальные условия : y(0)=1 и y(1)=6

Решение:

Сдвигаем на 6 узлов (+6)

1) Решаем однородное уравнение

Характеризирующее уравнение

Ф.С.Р

Общее решение:

2)

Находим и подставляем в левую часть уравнения, а затем приравниваем

Разделим на

3) Общее решение

4) Находим частное решение, если

Ответ:

Список использованной литературы

1. Высшая математика для экономистов: учебник и практикум / под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: Юрайт-издат, 2012.

2. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: учебное пособие. — М.: Физматлит, 2008.

3. Романко В.К. Разностные уравнения: Учебное пособие. – БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. – 112 с.

4. Гисин В.Б. Практикум по дифференциальным уравнениям: Учебное пособие/ В.Б. Гисин, И.Е. Денежкина, С.А. Зададаев; Финакадемия. – М.: Финакадемия, 2006.

5. Романко В.К. Разностные уравнения: Учебное пособие. – БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. – 112 с.

6. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. М.-С.Пб.: Физматлит, 2001.

7. Калягин В.А, Козырев О.Р., Куркин А.А., Петрухин Н.С. Дифференциальные и разностные уравнения. Н. Новгород: НГТУ, 2002.

8. Лобанов С.Г. Конспект лекций по курсу дифференциальных и разностных уравнений. М.: Изд-во ГУ ВШЭ, 1998.

9. Учебные материалы по курсу Дифференциальные и разностные уравнения». Составители: Андреев В.Г., Юркчан А.Г., Чернявский В.М.-М.: Изд-во ВШЭ, 1996 .

10. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению под редакцией Романко В.К. – М.-С.Пб.: Физматлит, 2002.

11. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1992.

12. Высшая математика для экономистов: учебник и практикум / под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: Юрайт-издат, 2012.