Свойства периодической функции

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода есть периодическая функция периода .

2) Если функция период , то функция имеет период .

3) Если – периодическая функция периода , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины (при этом интеграл существует), т. е. при любых и справедливо равенство .

Ряды Фурье (Фурье – французский математик и физик 1768–1830) используются для описания периодических процессов, решения дифференциальных уравнений, приближения периодических и непериодических функций. В этих случаях функцию, описывающую периодический процесс, представляют как сумму простых периодических функций , –амплитуда, –фаза колебаний, – начальная фаза.

Полагая , , можно записать

Сложные процессы описываются функциями вида

Выражение вида , где – основная тригонометрическая система функций, называется тригонометрическим рядом Фурье.

Основная тригонометрическая система функций:

, определена на отрезке , где – период функции. Числа называются коэффициентами Фурьефункции .

10.Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье

Определение. Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.

Теорема Дирихле. Если на отрезке функция имеет конечное число точек разрыва первого рода (или непрерывна) и конечное число точек экстремума (или не имеет их вовсе), то ее ряд Фурье сходится, т. е. имеет сумму , во всех точках этого отрезка. При этом:

1) в точках непрерывности функции он сходится к самой функции ;

2) в каждой точке разрыва функции сходится к полусумме односторонних пределов функции справа и слева ;

3) в обеих граничных точках отрезка сходится при стремлении величины к этим точкам изнутри отрезка к полусумме односторонних пределов функции .

11. Ряд Фурье для периодической функции с периодом

Тригонометрический ряд

(1)

называется тригонометрическим рядом Фурье для периодической функции , если коэффициенты его определяются по формулам:

,

, где ,

, где .

Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) с периодом Т = 2l, которая на отрезке задана равенством .

Решение. Найдем коэффициенты ряда Фурье:

.

.

, т. к. , то разложение примет вид , следовательно, искомое разложение имеет вид:

.

12. Ряд Фурье для периодической функции с периодом

Ряд Фурье для такой функции получается из ряда 1 при значении .

, где

,

,

Пример.Разложить в ряд Фурье функцию, заданную в промежутке уравнением .

Решение.Графиком этой функции является отрезок, соединяющий точки и . На рисунке показан график функции .

Эта функция является периодической с периодом .

Определяем коэффициенты ряда Фурье. Сначала находим

.

Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат.

Таким образом, .

Далее находим коэффициенты :

.

Оба интеграла равны нулю, т. к. подынтегральная функция второго интеграла является нечетной как произведение четной и нечетной функций. Итак, , т. е. .

Определяем теперь коэффициенты :

.

Первый интеграл равен нулю. Подынтегральная функция второго интеграла – четная как произведение двух нечетных функций. Таким образом, .

Решим данный интеграл, интегрированием по частям:

, т. е.

.

Следовательно, разложение функции в ряд Фурье имеет вид:

.