Разложение элементарных функций в ряд

При представлении элементарной функции в виде ряда обычно поступают следующим образом:

– вычисляют последовательно производные данной функции в точке ;

– составляют ряд и определяют область сходимости полученного ряда.

В этой области ряд Тейлора (Маклорена) сходится к порождающей его функции , если только все значения , , …, получаются непосредственной подстановкой значения в выражения , , …, .

Получим разложение некоторых функций в ряд Маклорена

1) Функция вида

.

Действительно,

f(x)= ; f’(x)= ; f”(x)= ; f”’(x)= ;…

f(0)= =1; f’(0)= =1; f”(0)= ; f”’(0)= ;…

Подставляя эти значения в ряд Маклорена, получаем соответствующие разложения.

Определим радиус сходимости полученного ряда по признаку Даламбера: , значит, . Тогда интервал сходимости полученного ряда .

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)= .

Решение:

…+ …

Пример 2. Разложить функциюf(x)= в ряд Тейлора по степеням(x-2).

Решение:

…+ …

2) Функция вида

.

Действительно, f(x)= ; f’(x)= ; f”(x)=- ; f(0)=0; f’(0)=1; f”(0)=0; f”’(0)=-1;…

Подставляя эти значения в ряд Маклорена, получаем искомое значение.

Определим радиус сходимости:

.

Тогда – интервал сходимости полученного ряда.

3) Функция вида

.

Так же, как и в случае с функцией , интервал сходимости ряда .

Кроме того, данное разложение можно получить из разложения функции почленным дифференцированием.

Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)=

Решение: x= …)=

4) Функция вида

на .

5) Функция вида

Биноминальный ряд сходится внутри интервала и расходится вне этого интервала. Сходимость для значений и исследуется для каждого случая отдельно.

.

6) Функция вида

на .

Для разложения функции в ряд Тейлора (Маклорена) можно использовать известные разложения в ряд. При этом возможно использование следующих действий над степенными рядами внутри их промежутков сходимости:

– два степенных ряда можно почленно складывать и умножать (по правилу умножения многочленов);

– степенной ряд можно почленно умножать на общий множитель;

– степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз.

Так как степенной ряд для своей суммы есть ряд Тейлора, то полученное в результате указанных действий разложение будет искомым.

Приложения степенных рядов