Теорема (Абеля).

Если степенной ряд (1) сходится в точке , то он сходится абсолютно в интервале, соответствующем неравенству: .

Следствие. Если в точке степенной ряд (1) расходится, то он расходится во всех точках таких, что .

Из теоремы Абеля и ее следствия вытекает, что если степенной ряд (1) сходится хотя бы в одной точке , то всегда существует число такое, что степенной ряд сходится абсолютно для всех и расходится для всех .

Определение.Величина называется радиусом сходимости, а интервал – интервалом сходимости ряда (1), – середина интервала.

Частные случаи:

– если ряд сходится в точке , то ; – точка сходимости;

– если ряд сходится при всех , то ; – интервал сходимости ряда.

На концах интервала ряд может либо сходиться (абсолютно или условно), либо расходиться. Сходимость ряда при значениях надо исследовать по соответствующему признаку сходимости.

Для нахождения радиуса и интервала сходимости используют признак Даламбера, в редких случаях, радикальный признак Коши.

– радиус сходимости, – интервал сходимости ряда (1).

– формула для нахождения радиуса сходимости ряда.

Для определения сходимости ряда на концах интервала в степенной ряд (1) вместо значения подставляются числа и . Получаем два числовых ряда, которые исследуются по известным признакам сходимости.

Замечание. При исследовании на концах интервала сходимости для получающегося ряда с положительными членами применять признак Даламбера не имеет смысла, так как в этом случае всегда будем получать с нерешенным вопросом о сходимости ряда; в этом случае рекомендуется рассматривать другие признаки сходимости.