Допустим, что левая часть дифференциального уравнения
(1)
является полным дифференциалом некоторой функции 
:
.
Тогда если 
есть решение дифференциального уравнения (1), то 
, откуда следует, что 
. Обратно, если дифференцируемая функция такова, что при некотором 
, то есть решение дифференциального уравнения (1). Следовательно,
есть общий интеграл дифференциального уравнения (1). Если даны начальные условия 
, то определяется равенством 
, и 
является искомым частным интегралом.
Для того чтобы выражение 
было полным дифференциалом некоторой функции, необходимо и достаточно (для 
), чтобы 
. Поэтому уравнение с разделенными переменными есть уравнение в полных дифференциалах.
Уравнение в полных дифференциалах легко интегрируется. Действительно, если
, то 
.
Пусть 
. Тогда 
. Для определения функции 
дифференцируем это равенство по 
и получаем
Из полученного уравнения определяем 
и, интегрируя, находим .
Пример1. Найти общий интеграл уравнения
. (2)
Решение. Так как 
, это уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Имеем 
, откуда 
. Тогда 
. Следовательно, 
, и, тем самым, 
. Значит
. Таким образом, общий интеграл дифференциального уравнения (2) есть 
.
