Дифференциальное уравнение вида
где 
и 
некоторые заданные функции, называется линейным
дифференциальным уравнением первого порядка.
Если 
, то уравнение имеет вид 
и называется однородным. Его решением является 
. Если 
то разделяя переменные, получаем 
откуда 
, или 
, где 
- примитивная функции . Следовательно, ненулевые решения однородного уравнения имеют вид 
, где 
– произвольная постоянная, отличная от нуля. Полагая 
, получим нулевое решение. Таким образом, все решения дифференциального уравнения могут быть найдены по формуле 
, где – произвольная постоянная, – примитивная функции .
Для решения неоднородного линейного дифференциального уравнения применим метод Лагранжа вариации произвольной постоянной: в общем решении однородного уравнения заменим постоянную функцией 
и будем искать решение неоднородного уравнения в виде 
. Имеем 
, откуда 
. Следовательно, в качестве можно взять любую примитивную функции 
. Пусть 
. Тогда общим решением линейного дифференциального уравнения будет функция 
