Расчет спектральной плотности

В практических расчетах от интеграла (8) переходят к сумме и выборочную спектральную плотность оценивают по формуле:

; . (9)

В пакете MATLAB быстрое одномерное преобразование Фурье реализовано парой функций, выполняющих прямое и обратное БПФ: fft/ifft. Данные функции используются как для действительных, так и для комплексных последовательностей, при этом длина последовательностей может быть произвольной.

Обращение к функциям:

fft(v) – возвращает дискретное преобразование Фурье 2^m-мерного вектора, аргумент которого есть результат дискретизации через равные промежутки времени некоторой функции. Результат работы программы – комплексный вектор размерности 2^m+1. элементы вектора, возвращаемого функцией fft, вычисляются по формуле:

где N – число элементов вектора v;

ifft(v)– обратное дискретное преобразование Фурье, комплексного вектора, содержащего значения ДПФ. Вектор v должен иметь 2^m+1 элементов. Результат работы программы действительный вектор размерности 2^m+1. Элементы вектора, возвращаемого функцией ifft, вычисляются по формуле:

где N – число элементов вектора v. Отметим, что для всех векторов справедливо соотношение ifft(fft(v))=v ;

fft(v,n)- возвращает дискретное преобразование Фурье 2ⁿ – мерного вектора, аргумент которого есть результат дискретизации через равные промежутки времени некоторой функции. Результат работы программы есть комплексный вектор размерности 2ⁿ⁺¹. Если n>length(v) последовательность, хранящаяся в векторе v, дополняется нулями;

ifft(v,n) – обратное дискретное преобразование Фурье, комплексного вектора, содержащего значения ДПФ. Результат работы программы – комплексный вектор размерности 2ⁿ⁺¹. Если n>length(v) последовательность, хранящаяся в векторе v, дополняется нулями.

В качестве примера в приложении А приведён текст М-файла для вычисления спектра функции, являющейся суммой двух периодических функций:

,

где А₁=0.8, f₁ =40 Гц, A₂ =0.4, f₂=90 Гц, заданной набором дискретных значений N=8192 точках на интервале [0,2] с.