Матрицы позволяют вести очень компактную запись систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Обратимся к СЛАУ, представленной в алгебраической форме:
b11v1 + b12v2 + … +b1nvn + w1 = 0
b21v1 + b22v2 + … +b2nvn + w2 = 0
… … … ….(M.23)
… … … …
br1v1 + br2v2 + … +brnvn + wr = 0
Введём прямоугольную матрицу коэффициентов этих уравнений
, (M.24)
матрицу-столбец (вектор-столбец) неизвестных
, (M.25)
вектор-столбец свободных членов
(M.26)
и нулевой вектор-столбец правой части системы (M.23)
. (M.27)
В соответствие с операциями над матрицами, изложенными в предыдущем разделе, мы можем записать матричный эквивалент системы (M.23) кратко
Br n * Vn 1 + Wr 1 = 0r 1 (M.28)
или развёрнуто
* 
+ 
= 
. (M.29)
Когда в СЛАУ число уравнений равно числу неизвестных, то матрица коэффициентов становится квадратной. Если определитель такой матрицы не равен нулю, то матрица её коэффициентов будет неособенной. В таком случае существует обратная к ней матрица, с помощью которой просто записывается решение системы.
Пусть СЛАУ
An n * Xn 1 = bn 1. (M.30)
характеризуется неособенной матрицей коэффициентов (detA ≠ 0), а ранг расширенной матрицы (Annbn1) равен рангу матрицы коэффициентов, т.е. rank(A) = rank(Ab). Такая система называется совместной.
Умножив систему (M.30) слева на обратную матрицу Ann-1, мы получим решение данной СЛАУ в виде вектора неизвестных:
Xn 1 = Ann-1*bn 1. (M.31)
