Функция «z»,зависящая от «n» переменных xi, может быть представлена как функция векторного аргумента:
z = f(x1, x2, … xn) = f(X1nT). (M.16)
Частные производные такой функции удобно записать в виде вектора-строки:
∂z/∂X = (∂f/∂x1 ∂f/∂x2 … ∂f/∂xn). (M.17)
Символ ∂/∂X, использованный в формуле (M.17), называется вектором дифференциальных операторов [8].
Используя оператор (M.17), найдём в n-мерном пространстве вектор частных производных гиперплоскости
z = C1n*Xn1 (M.18)
и гиперповерхности второго порядка, называемой в математике квадратичной формой:
z = 
. (M.19)
Матрица Cnn предполагается симметрической, т.е. 
.
Следующая последовательность преобразований с применением вектора дифференциальных операторов (M.17) доказывает, что вектор частных производных гиперплоскости (M.18) – это вектор её коэффициентов C1n:
∂z/∂X= 
. (M.20)
Итак, ∂( C1nXn1)/∂X = C1n.
Далее построим вектор частных производных для квадратичной формы, преобразовав предварительно уравнение (M.19) к обычной алгебраической форме;
z = =(x1 x2 … xn)* 
=
=(c11x12 + c12x1x2 + … + c1nx1xn +
+ c21x2x1 + c22x222 + … + c2nx2xn +
… … … … …
+ cn1xnx1 + cn2xnx2+ … + cnnxnn2).(M.21)
Теперь квадратичная форма (M.19) готова к дифференцированию по классическим правилам:
∂z/∂X= 
= 
. (M.22)
Окончательно, ∂(X1nT*C1n*Xn1)/∂X = 2 X1nT*C1n.
