Ограничения на ресурсы

Модель Леонтьева отражает те потенциальные возможности, кото­рые заложены в техноло­гии производственного сектора. В этой мо­дели предполагается, что все промежуточные продукты к тому мо­менту, когда они оказываются необходимыми, уже произведены. Од­нако в реальной ситуации нужно принимать в расчет наличие таких ограничительных факторов производства, как мощность каждой от­расли (материальные ресурсы) и общее количество рабочей силы в системе (трудовые ресурсы).

Пусть L — общее число рабочих и

- матрица-строка затрат рабочей силы: каждый ее элемент l_k> 0 показывает количество рабочих, необходимое для производства еди­ницы k-го продукта.

В предположении линейности производства произведение

превзойти который столбец выпуска не может,

х ≤ m.

При ограниченных ресурсах уже^нельзя ставить вопрос об удо­влетворении любого ко­нечного спроса с > О. Тем не менее продук­тивная система может обеспечить любую струк­туру прибавочного продукта, т. е. соотношение между количеством прибавочных про­дуктов первой и второй отраслей.

ТЕОРЕМА. Пусть дана продуктивная матрица А > О, столбцы с > О и m > О, строка 1 > О я число L > 0. Тогда задача

имеет, и притом ровно одно, решение.

Рассмотрим на конкретном примере, как можно решать такую задачу.

Пример 3. Итак, даны

Начнем с решения системы

или подробнее:

Это можно записать в равносильной форме:

которые в данном случае принимают вид:

Отсюда имеем:

или

наибольшее значение а. удовлетворяющее всем трем условиям, равно 1/3 (рис. 1).

Замечание 1. Соотношение между количеством первого и количе­ством второго прибавоч­ного продукта 4 : 5 -- то же, что и в случае отсутствия каких-либо ограничений на матери­альные и трудовые ресурсы.

Решение системы уравнений можно записать так:

Полученное равенство на плоскости (x_1,x₂) описывает прямую, проходящую через начальную точку 0(0,0).

В свою очередь, неравенства (2) можно проиллюстрировать так, как показано на

На рис. 3 представлены все возможные случаи.

Замечание. На рис.2 жирная точка отвечает Q_max.