Оптимальный выбор потребителя (общий случай)

Необходимое условие максимума функции полезности.

Потребитель покупает набор, состоящий из товаров, функция общей полезности которого , а доход потребителя . Цены товаров заданы рынком.

Определим необходимое условие максимизации функции общей полезности при условии, что весь доход не будет израсходован на потребление.

Бюджетное ограничение потребителя: .

Так как потребитель не расходует весь свой доход, то кроме приобретаемых товаров у него остается некоторая часть дохода. Тогда общая полезность набора товаров и денег представлена функцией Лагранжа:

.

Если потребитель расходует весь доход, то функция Лагранжа равна функции общей полезности. Но нередко потребитель не расходует весь доход, часть дохода сберегает. Вводится параметр , который измеряет предельную полезность одной денежной единицы. Полезность денежной единицы оценивается потребителями по-разному, как и полезность одного и того же товара. Этот параметр необходим, чтобы можно было сложить общую полезность набора и полезность денег, так как общая полезность измеряется в единицах полезности, а доход - в денежных единицах. Общая полезность для потребителя теперь складывается из полезности приобретаемого набора товаров и полезности неизрасходованных денег.

Функция Лагранжа является функцией переменных . Необходимое условие максимизации функции Лагранжа – равенство нулю первых частных производных.

;

;

…

;

.

Получаем следующую систему уравнений:

Возьмем первые уравнений и выразим из них , получим: