Следствия

• Количество главных переменных системы равно рангу системы.
• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

7 однородные системы линейных уравнений

Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.

Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.

В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r; - базис этого подпространства.

8 векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Модуль и направляющие косинусы вектора

Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец.

Сложение векторов. Пусть и – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ; затем от точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается

Вычитание векторов.Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор : Û . Если векторы и привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому»

1. Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:

Доказательство. Ясно, что проекция вектора не изменится при его параллельном переносе, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда начало вектора совпадает с началом отсчёта O оси l. Так как координата проекции начала равна нулю, то обозначим .

1. Если угол φ острый, то из прямоугольного получаем . Откуда или

2. Если угол φ тупой, то x< 0, . Тогда из или . Т.е. .

2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось: .

Доказательство. Пусть . Обозначим через x₁, x₂ и x₃ координаты проекций A₁, B₁, C₁ на ось l точек A, B и C. Тогда . Но .Это свойство можно обобщить на случай любого числа слагаемых.

3. Если вектор умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число:

.Доказательство. Пусть угол между вектором и осью .

Если λ > 0, то вектор имеет то же направление, что и , и составляет с осью такой же угол .

При λ > 0 .

Если же λ < 0, то и имеют противоположные направления и вектор составляет с осью угол π – φ и .

Следствие. Проекция разности двух векторов на ось равна разности проекций этих векторов на ту же ось.