Свойства определителей

Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): — определитель такой матрицы.

-При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

- Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

-Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

-Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

-Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

-Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

-Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

-Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

-Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).

-С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:

3. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений в матричной форме.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Обратная матрица A существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная.

Доказательство. Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную A, т. е. AA AA E. По свойству 10 определителей имеем D(AA) = D(A)D(А) D(E) = 1 и, следовательно, D(А) 0.

Достаточность. Пусть D(А) 0. Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка , называемую присоединенной. Ее элементами служат алгебраические дополнения элементов матрицы , транспонированной к матрице А:

Легко показать, что

Отсюда следует, что если в качестве обратной матрицы взять матрицу A, то произведения AA и AA равны единичной матрице E n-го порядка: AA AA E.

4. система m линейных уравнений с n неизвестными. Формула Крамера

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

1. Система может иметь единственное решение.

2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.

3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x₁ + x₂ равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение – на A₂₁ и 3-е – на A₃₁:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

.Далее рассмотрим коэффициенты при x₂:

Аналогично можно показать, что

.Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и ,

откуда и следует утверждение теоремы.

5 Ранг матрицы, элементарные преобразования, вычисление ранга матрицы

Рангом системы строк (столбцов) матрицы А с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы. Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Пусть — прямоугольная матрица. Тогда по определению рангом матрицы А является:

• нуль, если A — нулевая матрица;
• число , где — минор матрицы А порядка , а окаймляющий к нему минор порядка , если они существуют.

• Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

• Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице А найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k+1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

6 Теорема Кронекера-Капелли

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений: «Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных». Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, что бы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

НеобходимостьПусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .