Операции над матрицами

1. Транспонирование матрицы – преобразование, при котором строки матрицы записывают в виде столбцов при сохранении их порядка. Для квадратной матрицы это преобразование эквивалентно симметричному отображению относительно главной диагонали:

.

2. Матрицы одинаковой размерности можно суммировать (вычитать). Суммой (разностью) матриц называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов исходных матриц:

.

3. Любую матрицу можно умножать на число. Произведением матрицы на число называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на это число:

.

4. Если число столбцов одной матрицы равно числу строк другой, то можно выполнить умножение первой матрицы на вторую. Произведением таких матриц называется матрица, каждый элемент которой равен сумме попарных произведений элементов соответствующей строки первой матрицы и элементов соответствующего столбца второй матрицы.

Следствие. Возведение матрицы в степень к>1 есть произведение матрицы А к раз. Определено только для квадратных матриц.

Пример.

Свойства операций над матрицами.

1. А+В=В+А;

2. (А+В)+С=А+(В+С);

3. к(А+В)=кА+кВ;

4. А(В+С)=АВ+АС;

5. (А+В)С=АС+ВС;

6. к(АВ)=(кА)В=А(кВ);

7. А(ВС)=(АВ)С;

8. АЕ=ЕА=А;

9. (кА)^Т=кА^Т;

10. (А+В)^Т=А^Т+В^Т;

11. (АВ)^Т=В^ТА^Т;

Перечисленные выше свойства аналогичны свойствам операций над числами. Есть и специфические свойства матриц. К ним относится, например, отличительное свойство умножения матриц. Если произведение АВ существует, то произведение ВА

- может не существовать

- может отличаться от АВ.

Пример. Предприятие выпускает продукцию двух видов А и В и использует при этом сырье трех типов S₁, S₂, и S₃. Нормы расхода сырья заданы матрицей N= , где n_ij – количество сырья j, расходуемого на производство единицы продукции i. План выпуска продукции задан матрицей С=(100 200), а стоимость единицы каждого вида сырья – матрицей . Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции и общую стоимость сырья.

Решение. Затраты сырья определим как произведение матриц С и N:

.

Общую стоимость сырья вычислим как произведение S и Р:

.