Дополнительные миноры и алгебраические дополнения.

Для любой квадратной матрицы А существует число или det A, называемое определителем, характеризующее эту матрицу.

Опр. Определителем квадратной матрицы п-го порядка называется число, равное сумме п! слагаемых, каждое из которых является произведением п элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком “+”или “—” .

Так, определителем первого порядка называется само число а₁₁.

Определителем квадратной матрицы А второго порядка называется число, определяемое по формуле: .

Правило вычисления этого определителя легко запомнить визуально: из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов побочной диагонали матрицы.

Определителем квадратной матрицы А третьего порядка называется число, определяемое по формуле:

Это число представляет собой сумму 3!=6 слагаемых, в которые входят по одному элементу из каждой строки и столбца. Запомнить правило вычисления этого определителя можно, пользуясь схемой, называемой правилом треугольников или правилом Сарруса.

Вычисление определителей порядка больше 3 основано на применении свойств определителей.

Опр. Минором порядка к матрицы А_m×n называется определитель к-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием (т-к) строк и (п-к) столбцов ( ).

Опр. Дополнительным минором М_ij элемента a_ij квадратной матрицы А п-го порядка называется определитель порядка (п-1), полученный из матрицы А вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент a_ij.

Опр. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij квадратной матрицы А п-го порядка называется число

.