Решение систем двух и трех линейных уравнений методом Крамера.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными при условии, что определитель системы ,имеет единственное решение, которое находят по формулам Крамера и .

Здесь и - определители, которые составляются из определителя заменой столбца коэффициентов при соответствующей переменной столбцом свободных членов:

, .

Если , то система является,

либо несовместной (выполняется условие ),

либо неопределенной (выполняется условие ).

Пример 1. Пользуясь правилом Крамера, решить систему уравнений

Решение. Здесь , система совместна и имеет

единственное решение, которое находим по формулам Крамера.

,

,

Следовательно, система имеет единственное решение

Ответ: .

Пример 2.

Решение. Находим

Свободные члены пропорциональны коэффициентам при переменных: .

Поэтому данная система равносильна одному из уравнений, например первому, и следовательно, имеет бесконечное множество решений.

Ответ: неопределенная система.

Пример 3.

Решение. Находим . Здесь свободные члены не пропорциональны коэффициентам при переменных: ; поэтому данная система несовместна, т.е. не имеет решения.

Ответ: решений нет.

Система трех линейных уравнений с тремя переменными при условии, что определитель системы , имеет единственное решение, которое находим по формулам Крамера ,

где , и - определители, которые составляются из определителя заменой столбца коэффициентов при соответствующей переменной столбцом свободных членов:

, и .

Если , то система является, либо несовместной,

либо неопределенной.

Пример 1.Решить системы уравнений.

Решение. Составим и вычислим определитель системы и определители , и .

Тогда по формулам Крамера имеем:

; ; . Ответ: ( ; ; ).