Формула Тейлора

Рассмотрим важную задачу, которая решается в теории функциональных рядов: по заданной функции найти сходящийся функциональный ряд того или иного типа, сумма которого в области сходимости равнялась бы заданной функции. Такая задача называется разложением функции в ряд, например, степенной.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки

х₀: , где , причём в этой окрестности функция имеет все производные до -го порядка.

Задача: Подберём многочлен n-й степени

по степеням так, чтобы в точке х₀ совпадали значения и , а также значения их производных до ( )-го порядка включительно. Тогда считаем, что в окрестности точки х₀ такой многочлен будет приближать данную функцию с некоторой точностью.

Коэффициенты многочлена являются неопределенными коэффициентами, которые необходимо найти исходя из следующих условий:

, , , … , .

Для нахождения этих коэффициентов найдём производные до n-го порядка от :

…

, при всех R.

Подставим в эти соотношения и приравняем , где :

, , ,

, … .

Находим выражения для , решая полученную систему уравнений:

Получаем общую формулу для определения коэффициентов многочлена :

, . (4)

Тогда многочлен примет следующий вид: .
Этот многочлен называется многочленом Тейлора для функции

по степеням , где называются коэффициентами многочлена Тейлора, .

Таким образом, для каждой функции , удовлетворяющей поставленным условиям при , можно найти многочлен Тейлора (в точке х₀ функция и многочлен совпадают со своими производными до n-го порядка).

Разность , обозначенную через , называют остаточным членом формулы Тейлора, которая имеет вид:

(5)

Формула (5) называется формулой Тейлора для функции по степеням порядка n. Отметим, что

Величина остаточного члена формулы Тейлора играет важную роль в оценке точности приближения заданной функции многочленом Тейлора. Существует два вида остаточных членов.

1) Остаточный член в форме Пеано. Преобразуем остаточный член формулы Тейлора, используя некоторые понятия из теории пределов.

а) Функция называется бесконечно малой при , если .

б) Бесконечно малая функция называется бесконечно малой более высокого порядка малости относительно бесконечно малой функции при , если существует и записывается следующим образом: (что читается так: «β есть о малое от α).

Рассмотрим формулу Тейлора для функции по степеням
порядка n: . Остаточный член в формуле Тейлора имеет вид: . Из построения многочлена Тейлора следует Тогда откуда остаточный член формулы Тейлора можно записать в виде: , т.е. величина остаточного члена есть бесконечно малая более высокого порядка малости относительно при .

Формула Тейлора , в которой ,
называется формулой Тейлора с остаточным членов в форме Пеано. Поскольку остаточный член при является бесконечно малой величиной, то можно считать, что разность бесконечно мала, т.е. .

2) Остаточный член в форме Лагранжа. Запишем остаточный член в виде

, где Q(x) есть некоторая функция, подлежащая определению. Можно доказать, что , где точка ξ заключена между х и х₀: , т.е. остаточный член имеет вид: . Тогда формула Тейлора примет вид , который называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.