Некоторые сведения о последовательностях

Пусть каждому значению N поставлено в соответствие (по определённым правилам) определённое действительное число R; тогда множество упорядоченных действительных чисел называется числовой последовательностью и обозначается , где − общий член последовательности. Например, последовательность имеет общий член , где N.

Определение 1. Последовательность называется убывающей, если N, и возрастающей, если N.

Определение 2. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число М, R, что N, и ограниченной снизу, если существует такое число М, R, что N.

Определение 3. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена как снизу, так и сверху, т.е. существует такое число М > 0

( R), что .

Определение 4. Число а называется пределом последовательности ,
если для любого сколь угодно малого положительного числа
найдётся такой номер N, зависящий от , что для всех натуральных чисел выполняется неравенство . Тогда означает,

что N такое, что для всех N: . При

этом говорят, что последовательность сходится к числу а.

Приведём некоторые свойства сходящихся последовательностей.

–Если последовательность имеет предел, то он единственен.

–Если последовательность имеет конечный предел, то эта последовательность ограничена.

–Если последовательность возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.

–Если последовательность возрастает (убывает) и не ограничена сверху (снизу), то она имеет бесконечный предел + ¥ (− ¥).

1.2. Числовой ряд. Основные понятия теории числовых рядов:
сходимость, расходимость, сумма ряда. Примеры

Пусть задана бесконечная последовательность чисел R.

Определение 5. Бесконечным числовым рядом называется выражение вида , обозначаемое как . Числа называются членами (элементами) числового ряда.

Определение 6. Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда: .Тогда и т.д. Получаем последовательность частичных сумм : .

Таким образом, каждому числовому ряду можно поставить в соответствие последовательность частичных сумм : .

Определение 7. Если существует конечный или бесконечный предел S

последовательности частичных сумм , то он называется суммой ряда , т.е. .

Если S конечно (S < ¥), то ряд называется сходящимся; если S = ¥ или S не существует, то ряд называется расходящимся и суммы ряд не имеет.

Итак, если дан ряд, то всегда можно поставить вопрос, сходится ли он (иными словами, существует ли конечный предел ) или расходится?

Приведём примеры исследования ряда на сходимость и нахождения его суммы.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд и найти его сумму.

Решение. Обозначим − общий член ряда. Тогда частичная сумма ряда . Так как , то . Тогда , т.е. ряд сходится и его сумма S = 1.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд и найти его сумму.

Решение. Обозначим − общий член ряда. Тогда,
частичная сумма ряда . Так как

, то

, тогда , т.е. ряд сходится и его сумма .

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Обозначим общий член ряда . Тогда, частичная сумма ряда , , т.е. сумма ряда и ряд расходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии.

Решение. Пусть дана геометрическая прогрессия, где q − знаменатель прогрессии. Ряд называется рядом геометрической прогрессии. Обозначим − общий член ряда. При n- частичная сумма этого ряда равна

.

Рассмотрим частные случаи.

–Если , то , т.е. ряд сходится.

–Если , то не существует, т.е. последовательность

расходится, а значит расходится и исследуемый ряд геометрической

прогрессии.

–При ряд имеет вид . Тогда , , т.е. ряд расходится.

–При , ряд имеет вид , тогда , т.е. предела последовательности не существует, а значит, искомый ряд расходится.

Таким образом, ряд геометрической прогрессии сходится тогда и только тогда, когда , в остальных случаях ряд расходится.

1.3. Основные свойства сходящихся рядов,
необходимый признак сходимости

Пусть дан числовой ряд . Сформулируем его основные свойства.

Свойство 1. Если сходится ряд, полученный из данного ряда отбрасыванием или присоединением конечного числа членов, то сходится и сам данный ряд, и наоборот. Иными словами, отбрасывание или
присоединение конечного числа членов ряда не влияет на сходимость ряда.

Доказательство. Пусть – частичная сумма ряда , – сумма отброшенных членов и – сумма членов ряда, входящих в сумму и не входящих в сумму C_k. При достаточно большом n все отброшенные члены будут содержаться в сумме , т.е. (k – фиксированное число, – const). Тогда, если существует , то существует и , т.е. исходный ряд сходится. И наоборот, если существует , то существует и , т.е. сходится составленный ряд. Аналогично доказывается сходимость при добавлении к ряду конечного числа членов.

Свойство 2. Если сходится ряд , то ряд (С – константа) также сходится, причём его сумма равна .

Доказательство. Пусть – частичная сумма ряда , , и − частичная сумма ряда , . Тогда .

Отсюда, если существует (ряд сходится), то существует , т.е. ряд также сходится.

Свойство 3. Если ряды и сходятся и их суммы равны A и B соответственно, то их можно почленно складывать (или вычитать), причём ряды также сходятся и их суммы равны .

Доказательство. Пусть , и – частичные суммы этих рядов, тогда

. Переходя к пределу при , получим

Теорема 1 (необходимый признак сходимости рядов). Пусть ряд

сходится, тогда его общий член стремится к 0 (при )

(обратное не всегда верно).

Доказательство. Так как ряд сходится и его сумма равна S, то для его частичных сумм имеют место равенства ; . Что и требовалось доказать.

Условие сходимости, сформулированное в теореме 1, является необходимым, но не достаточным, т.е. при выполнении условия ряд может расходиться. Рассмотрим пример такого ряда: , где − общий член ряда. Тогда . Частичная сумма ряда имеет вид . Очевидно, каждый член этой суммы , тогда оценка даёт неравенство: , следовательно, , т.е. исходный ряд расходится, хотя .

Следствие из теоремы 1. Если общий член ряда а_n (при ) не стремится к 0, то ряд расходится (достаточный признак расходимости ряда).

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Обозначим общий член ряда . Так как , то из следствия теоремы 1

следует, что ряд расходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Общий член ряда имеет вид . Данный ряд называется гармоническим, так как каждый его член равен среднему гармоническому двух соседних: . Очевидно неравенство: . Члены гармонического ряда, начиная с третьего, объединим в группы по 2, 4, 8, 16, …, 2^k-1 членов в каждой группе. Очевидно, сумма каждой группы можно оценить следующим образом: ; ; , т.е.
каждая из этих сумм в отдельности больше . Таким образом, для частичных сумм с номерами выполняются неравенства: ,
, …,
,т.е. частичные суммы гармонического ряда неограниченно растут с увеличением при , значит, . Получаем, что гармонический ряд расходится.