Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Министерство образования и науки Российской Федерации Российский химико-технологический университет

Им. Д. И. Менделеева

Ряды

(Теория и практика)

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши……………. . 4

1.1. Некоторые сведения о последовательностях………………………… . 4

1.2. Числовой ряд. Основные понятия теории числовых рядов: сходмость, расходимость, сумма ряда. Примеры……………………………………… 5

1.3. Основные свойтсва сходящихся рядов, необходимый признак сходимости…………………………………………………………………… 8

1.4. Знакопостоянные ряды, ряды с положительными членами……………… 12

1.5. Интегральный признак Коши сходимости ряда с положительными членами……………………………………... ………………………………. 13

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши… 17

2.1. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд…………….............. 17

2.2. Признаки сравнения рядов с положительными членами……………….... 18

2.3. Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами…… 22

2.4. Радикальный признак Коши сходимости рядов с положительными

членами……………………………………………………………………… 25

Лекция 3. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов……………………………………………………. 27

3.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница........................................... 27

3.2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов……………. 29

3.3. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов……………………… 34

Лекция 4. Функциональные ряды. Степенные ряды. Формула Тейлора.. 35

4.1. Функциональные ряды: основные понятия, область сходимости………. 35

4.2. Степенные ряды: основные понятия, теорема Абеля……………………. 37

4.3. Свойтсва степенных рядов…………………………………………………. 42

4.4. Формула Тейлора…………………………………………………………… 43

Лекция 5. Ряды Тейлора и Маклорена……………………………………. 49

5.1. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости рядов Тейлора к исходной функции…………………………………………………………………. 49

5.2. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды…….. 53

Задания по теме «Ряды»……………………………………………………. 61

1. Числовые ряды. Ряды с положительными членами…………………… 61

2. Знакопеременные ряды……………………………………………....... 66

3. Функциональные ряды………………………………………………… 69

4. Ответы………………………………………………………………… 72

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши