Свойства четных и нечетных функций.

1) произведение четных функций – четная функция. Произведение нечетных функций – четная функция, произведение четной функции на нечетную – нечетная функция.

Обозначим - нечетную и четную функции. ,

Получим, ,

.

2)

.

Рассмотрим формулы разложения функции , заданной на отрезке в ряд Фурье

, , .

= (в точках непрерывности функции).

В точках разрыва функции .

Если функция четна, то по четности косинуса, нечетности синуса и свойству 1 под интегральные функции в . Следовательно,

, , .

= (в точках непрерывности функции). Четная функция разлагается по четным функциям.

Если функция нечетна, то по четности косинуса, нечетности синуса и свойству 1 под интегральные функции в . Следовательно,

, ,. .

= (в точках непрерывности функции). Нечетная функция разлагается по нечетным функциям.

Разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке по синусам и косинусам кратных дуг.

Так как функция заданана отрезке ,то ее можно доопределить на отрезок четным или нечетным образом.

Если функция доопределена четным образом, то она, как четная функция может быть разложена по формулам для четной функции

, , .

= (в точках непрерывности функции).

Это – разложение в ряд Фурье по косинусам кратных дуг.

Если функция доопределена нечетным образом, то она, как нечетная функция может быть разложена по формулам для нечетной функции

, ,. .

= (в точках непрерывности функции).

Это – разложение в ряд Фурье по синусам кратных дуг.

Одну и ту же функцию, заданную на отрезке ,можно разложить и по синусам, и по косинусам кратных дуг.

Пример. Разложить по косинусам и синусам кратных дуг функцию , заданную на отрезке .

Так как мы доопределяем функцию на отрезок при разложении по косинусам и синусам кратных дуг, то .

Разложим функцию по косинусам кратных дуг.

, , .

= =1.

Разложим функцию по синусам кратных дуг.

, ,. .

= = ,

(теорема Дирихле).