Лекция 2. Связь между гладкостью функции и периодом малости коэффициентов Фурье.

Теорема.Пусть функция определена на отрезке , разлагается на нем в тригонометрический ряд Фурье и непрерывна на нем вместе со своими производными до p –1 порядка включительно. Пусть Если p –ая производная функции кусочно непрерывна на интервале , то коэффициенты Фурье - бесконечно малые функции по отношению к .

Доказательство.

= .

Здесь - коэффициенты Фурье для функции .

Продолжая аналогично интегрирование по частям, получим

. Из этих соотношений следует

Из этого соотношения или непосредственно можно получить аналогичное соотношение для .

Поэтому , где или - n –ый коэффициент Фурье.

По следствию из равенства Парсеваля для коэффициентов Фурье самой функции и ее производных.. Следовательно, _{0 .} Теорема доказана.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию и построить график суммы ряда .

Продолжим заданную функцию периодически на всю ось. Тогда функция будет иметь разрывы первого рода в точках . В этих точках функция будет принимать значение , равное, по теореме Дирихле, полу сумме левого и правого пределов функции . В остальных точках значения функций и будут совпадать.

Вычислим коэффициенты Фурье.

,

.

. Проверьте, выполнив интегрирование по частям.

Из таких разложений часто можно получать суммы числовых рядов.

Например, подставим в разложение , получим

.

Подставим в разложение , получим

.

Разложения в ряд Фурье функций, заданных на отрезке .

Выше были получены формулы коэффициентов ряда Фурье при разложении в ряд функции, заданной на отрезке (или периодических функций с периодом ).

Выведем формулы коэффициентов ряда Фурье при разложении в ряд функции, заданной на отрезке .

Если функция задана на отрезке (или периодическая с периодом ), то функция имеет период (первое свойство периодических функций). Поэтому ее можно разложить в ряд Фурье для функции с периодом .

= .

, , .

Сделаем в этих формулах замену переменных

, , .

= (в точках непрерывности функции).

В точках разрыва функции . Возвращаясь к переменной x, заменяя формально t на x, получим формулы коэффициентов ряда Фурье при разложении в ряд функции, заданной на отрезке .

, , .

= (в точках непрерывности функции).

В точках разрыва функции .

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию , не вычисляя коэффициенты ряда Фурье.

Функция непрерывна, по теореме Дирихле

,

,

,

,