Реферат

Ряды Фурье

тема

Студент,	СФ 10-51	29.12.2011	Пылаев И.А.
	номер группы	подпись, дата	инициалы, фамилия
Преподаватель			Созутов А.И.
		подпись, дата	инициалы, фамилия

Красноярск 2011

Оглавление 1. Введение 2. Ортогональные системы функций 3. Разложение в ряд Фурье по системе ортогональных функций 4. Тригонометрический ряд Фурье 5. Ряд Фурье для функций имеющей период Т = 2ℓ 6. Ряд Фурье для четных и нечетных функций 7. Теорема Дирихле 8. Ряд Фурье для функций, заданной на интервале (0, ℓ) 9. Заключение 10. Задачи и их решения 11. Список используемой литературы Введение Нашему вниманию предоставляется рассмотреть объёмную тему «Ряды Фурье». Для этого познакомимся с рядами Фурье на примере

, при

Чтобы научиться раскладывать функцию в ряд Фурье, освоим теорию. Ортогональные системы функций Определение 1. Функции

называются ортогональными на [a, b], если

Определение 2. Система функций

(среди которых нет функции, тождественно равной нулю), определённых и интегрированных на [a, b], называется ортогональной, если функции данной системы попарно ортогональны, т.е.

Наиболее важным примером ортогональной системы функций явилась система тригонометрических функций

(1) Покажем, что эта система ортогональна на любом интервале длины

, например, на интервале [

. Для этого проверим обращение в ноль интегралов, используя преобразование произведения тригонометрических функций в сумму (А)

(А)

Полагая во 2-ом и 3-ем интегралах k = 0, получим

При n = k 1-й и 2-й интегралы дают результат

Разложение в ряд Фурье по системе ортогональных функций Пусть система функций

(2) ортогональна на [a, b], а

– некоторая функция, также заданная на [a, b]. Для того чтобы разложить функцию

в ряд по системе функций (2), представим функцию в виде суммы сходящегося ряда:

Из (3) найдём коэффициенты

. Считая, что интеграл от

равен сумме интегралов от членов ряда, умножим обе части равенства (3) на

В силу ортогональности все интегралы, кроме

, равны нулю. Получим формулу для коэффициентов:

(

, так как подынтегральная функция положительна). Коэффициент

называется коэффициентами Фурье функции относительно заданной системы функций (2). Тригонометрический ряд Фурье Рассмотрим систему тригонометрических функций (1), которая ортогональна на [

Пусть функция

– периодическая, с периодом Т =

, разложена в ряд по этой системе функций

(5) Тогда применяя формулу (4), получим

Определение 3. Функциональный ряд вида (5) называется тригонометрическим рядом Фурье, числа

определяемые по формулам (6), называются коэффициентами Фурье. Тригонометрический ряд Фурье является частным случаем рядов, которые получаются для произвольных систем функций, ортогональных на отрезке [а, b]. Причем сами функции не обязаны быть периодическими. Ряд Фурье для функции имеющей период Т =

Предположим, что функция

имеет период Т =

. Если сделаем замену

t, то функция

t) = ᵠ(t) будет периодической, с периодом

. Её можно разложить в ряд Фурье

где

Подставим переменные

t, t

x, dt

x. Интервал интегрирования по t от –

до

переходит по x от -ℓ до ℓ.

Отсюда ряд Фурье имеет следующий вид

Ряд Фурье для четных и нечетных функций Известно, что

Пусть

– четная периодическая функция периода 2ℓ либо четная функция, заданная на интервале [-ℓ,ℓ] длины 2ℓ. Так как

(n = 0, 1, …) является четной функцией, а

(n = 1, 2, …) – нечетной, то

будет четной, а

- нечетной функцией. Функцию

рассмотрим только на отрезке [0, l]. И поэтому коэффициенты Фурье для четной функции

будут

Следовательно, ряд Фурье для чётной функции содержит лишь косинусы.

Это ряд по косинусам, если коэффициенты вычисляются по формулам (7) и (8). Если

– нечетная функция, то

- нечетная, а

- четная функция, и тогда

Следовательно, ряд Фурье для нечетной функции содержит лишь синусы.

Это ряд по синусам, если коэффициенты вычисляются по формуле (9). Теорема Дирихле Важное значение имеют вопросы о том, при каких х ряд Фурье сходится и в каком случае сумма ряда в точке х равна значению функции

, порождающей этот ряд. Ответ на эти вопросы дает теорема Дирихле. Функция

на отрезке [а, b] удовлетворяет условиям Дирихле, если 1.

на отрезке [а, b] непрерывна, т. е. имеет на этом отрезке лишь конечное число точек разрыва, причём только I рода; 2.

монотонна [а, b],т. е. этот отрезок можно разбить на конечное число отрезков, на каждом из которых функция f(x) монотонно возрастает, или убывает, либо остаётся постоянной(имеет на этом интервале конечное число точек экстремумов). Теорема 1 (Теорема Дирихле). Если периодическая, с периодом

, функция

на каком-либо отрезке длиной

удовлетворяет условиям Дирихле, то: 1. ряд Фурье для этой функции сходится на всей оси; 2. в каждой точке х = х₀ непрерывности функции

сумма ряда S(x) равна значению функции

в этой точке, т.е. во всех точках непрерывности: S (x₀) = f (x₀) 3. в точках разрыва I-го рода функции

сумма ряда Фурье равна полусумме левого и правого пределов функции в этих точках, т.е.

4. в обеих граничных точках отрезка [а, b] сумма ряда Фурье равна полусумме предельных значений функции при стремлении независимой переменной к этим точкам изнутри интервала, т.е.

Замечание. Сумма ряда

есть периодическая функция с периодом Т = 2ℓ . Она определена на всей числовой оси, но описывает разлагаемую функцию

только на сегменте

, поскольку за его пределами сумма ряда повторяет свои значения как периодическая функция, а значения функции

не подчинены такому закону. Например, построим график удовлетворяющий условиям Дирихле для

Решение этой функции см. на странице Ряд Фурье для функции, заданной на интервале (0,ℓ) Зададим функцию

на интервале (0, ℓ), которая удовлетворяет условиям Дирихле. Дополним определение нашей функции для значения x в интервале (-ℓ, 0) и разложим полученную функцию на интервале (-ℓ,ℓ) в ряд Фурье. Полученный ряд по косинусам и ряд по синусам сходятся на интервале (0, ℓ). Определение четной и нечетной функции, чтобы получить разложение по косинусам или только синусам. Для 0 < x < ℓ полагаем, что

, в результате получится чётная функция на интервале (-ℓ,ℓ). Для 0 < x < ℓ полагаем, что

, в результате чего получится нечетная функция. Заключение В заключении можно сказать, что ряды Фурье применяются в различных разделах математики. Особо успешно они применяются в математической физике и ее приложениях к конкретным задачам механики и физики. Тригонометрические ряды Фурье применяются для изучения различных периодических процессов в электротехнике, радиотехнике, в теории упругих механических колебаний и во многих областях естествознания и технике.

Разложить функцию

в ряд Фурье. Список использованной литературы: · Ряды. Методические указания к курсу высшей математики для студентов 2 курса всех форм обучения/ А.И. Созутов, В.П. Сакулин. – Красноярск.- КрасГАСА.-2001.-72с. · Математика. Контрольные работы для студентов 2 курса. Часть 3/ И.В. Мельникова – Красноярск. - Ин-т архитектуры.-2007.-60с. · Ряды Фурье: http://vicaref.mgsu.ru/PDE/index12.htm · Введение. Простое гармоническое колебание. Тригонометрический полином:http://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem4/tema7/tema7.htm · Письменный, Д. Конспект лекций по высшей математике (полный курс). М. Айрис-пресс, 2009. – 608 с.