10.1 Пусть есть некоторое конечное множество элементов U = {a1, a2, ..., an}. Рассмотрим набор элементов , где ÎU, j = 1, 2, ..., r. Этот набор называется выборкойобъема r из n элементов. Любое подмножество U является выборкой, но не всякая выборка является подмножеством U, так как в выборку один и тот же элемент может входить несколько раз (в отличие от подмножества).
Комбинаторные задачи связаны с подсчетом числа выборок объема r из n элементов, где выборки подчиняются определенным условиям, т.е. выбор производится по какому-нибудь принципу. Подсчет числа выборок основывается на двух правилах теории множеств.
10.2 Принцип суммы: если card A = m, card B = n и AÇB = Æ , то card A È B = m+n. На комбинаторном языке это означает: если объект A можно выбрать m способами, объект B другими n способами и их одновременный выбор невозможен, то выбор “A или B” может быть осуществлен m+n способами.
10.3 Принцип произведения:если card A = m, card B = n, то card (A´B) = m´n. На комбинаторном языке это означает: если объект A может быть выбран m способами, при любом выборе A объект B может быть выбран n способами, то выбор “A и B” может быть осуществлен m×n способами.
10.4 Пример. A = {10 различных шоколадок}, B = {5 различных пачек печенья}. Выбор “A или B” означает, что выбирается что-то одно и способов выбора в это случае будет 15. Выбор “A и B” означает, что выбирается 1 шоколадка и 1 пачка печенья и различных вариантов для такого выбора будет 50.
10.5 Пример. Бросают 2 игральные кости. Сколькими способами они могут выпасть так, что на каждой кости выпадет четное число очков либо на каждой кости выпадет нечетное число очков ?
Пусть m - число возможностей для выпадения четного числа на одной кости, n - число возможностей для выпадения нечетного числа. Здесь m = n = 3. По правилу произведения количество выпадения четных чисел, равно как и нечетных, равно 9. По правилу суммы количество возможностей для выпадения двух четных или двух нечетных чисел будет 18.
Рассмотрим основные способы формирования выборок.
10.6 Определение.Выборка называется упорядоченной,если в ней задан порядок следования элементов. Если порядок следования элементов несущественен, то выборка называется неупорядоченной.
Из определения следует, две упорядоченные выборки, состоящие из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке, являются различными.
10.7 Перестановки. Упорядоченные выборки объемом n из n элементов, где все элементы различны, называются перестановкамииз n элементов. Число перестановок из n элементов обозначается Pn.
10.8 Теорема. P = n !
Доказательство проводится по индукции. Очевидно, если n = 1, то перестановка только одна и P1 = 1!. Пусть для n = k теорема верна и Pk = k !, покажем, что она тогда верна и для n = k + 1. Рассмотрим (k+1)-ый элемент, будем считать его объектом A, который можно выбрать k+1 способами. Тогда объект B - упорядоченная выборка из оставшихся k элементов по k. B соответствии с индуктивным предположением объект B можно выбрать k! способами. По принципу произведения выбор “A и B” можно осуществить k!´(k + 1) = (k + 1)! способами. А совместный выбор “A и B” есть упорядоченная выборка из k + 1 элементов по k + 1.
10.9 Пример. Сколько существует способов, чтобы расположить на полке 10 различных книг ? Ответ: 10 !
Можно рассуждать иначе. Выбираем первый элемент, это можно сделать n способами. Затем выбираем второй элемент, это можно сделать (n - 1) способами. По правилу произведения упорядоченный выбор двух элементов можно осуществить n´(n - 1) способами. Затем выбираем третий элемент, для его выбора останется n - 2 возможности, последний элемент можно выбрать единственным способом. Мы вновь приходим к формуле: n(n - 1)( n - r) ... 1.
10.10 Размещения. Упорядоченные выборки объемом m из n элементов (m < n), где все элементы различны, называютсяразмещениями. Число размещений из n элементов по m обозначается .
10.11 Теорема. =
Доказательство. Обозначим x = . Тогда оставшиеся (n - m) элементов можно упорядочить (n - m) ! способами. По принципу произведения, если объект A можно выбрать x способами, объект B (n - m)! способами, то совместный выбор “A и B” можно осуществить x ×(n - m)! способами, но выбор “A и B” есть перестановка и Pn = n ! Отсюда x = =
Рассуждая иначе: первый элемент выбираем n способами, второй - (n - 1) способами и т.д. , m - ый элемент выбираем (n - m + 1) способом. По принципу произведения вновь имеем: n(n - 1)...(n - m +1), что совпадает с .
10.12 Пример. Группа из 15 человек выиграла 3 различные книги. Сколькими способами можно распределить эти книги среди группы ?
Имеем = 15 ×14 ×13 = 2730.
10.13 Сочетания. Неупорядоченные выборки объемом m из n элементов (m < n) называются сочетаниями. Их число обозначается .
10.14 Теорема.
Доказательство. Очевидно, Действительно, объект A - неупорядоченная выборка из n элементов по m, их число . После того, как эти m элементов отобраны, их можно упорядочить m! способами (в роли объекта B выступает “ порядок “ в выборке). Совместный выбор “A и B“ - упорядоченная выборка.
10.15 Пример. Группа из 15 человек выиграла 3 одинаковые книги. Сколькими способами можно распределить эти книги?
Сочетания, размещения и перестановки являлись подмножествами исходного множества. Рассмотрим выборки, которые не являются подмножествами.
10.16 Размещения с повторениями. Упорядоченные выборки объемом m из n элементов, где элементы могут повторяться, называются размещениями с повторениями. Их число обозначается (n).
10.17 Теорема. (n) = nm.
Доказательство. Первый элемент может быть выбран n способами, второй элемент также может быть выбран n способами и так далее, m -тый элемент также может быть выбран n способами. По принципу произведения получаем nm .
10.18 Пример. Кодовый замок состоит из четырех разрядов, в каждом разряде независимо от других могут быть выбраны цифры от 0 до 9. Сколько возможных комбинаций?
Здесь n = 10, m = 4 и ответом будет 104.
10.19 Пример. Рассмотрим вектор длины m, каждая координата которого может принимать всего 2 значения: 0 или 1. Сколько будет таких векторов ?
Это есть выборка объемом m из двух элементов. Ответ : 2m
10.20 Перестановки с повторениями. Пусть имеется n элементов, среди которых k1 элементов первого типа, k2 элементов второго типа и т.д., ks элементов s-того типа, причем k1 + k2 + ... + ks = n. Упорядоченные выборки из таких n элементов по n называются перестановками с повторениями, их число обозначается Сn(k1, k2, ..., ks). Числа Сn(k1, k2, ..., ks) называются полиномиальными коэффициентами.
10.21 Теорема. Сn(k1, ..., ks) =
Доказательство проведем по индукции по s, то есть по числу типов элементов. При s = 1 утверждение становится тривиальным: k1 = n, все элементы одного типа и Сn(n) = 1. В качестве базы индукции возьмем s = 2, n = k1 + k2. В этом случаем перестановки с повторениями превращаются в сочетания из n элементов по k1 (или k 2): выбираем k1 место, куда помещаем элементы первого типа.
Сn(k1 k2) =
Пусть формула верна для s = m , т.е. n = k1 + ... + km и
Сn(k1, ..., km)=
Докажем, что она верна для s = m + 1 (n = k1 +... + km + km+1). В этом случае перестановку с повторениями можно рассматривать как совместный выбор двух объектов: объект A - выбор k m + 1 места для элементов (m + 1)-го типа; объект B - перестановка с повторениями из (n - km+1) элементов. Объект A можно выбрать способом, B - (k1, ..., km) способами. По принципу произведения
и мы получили требуемую формулу.
Замечание. Числа называются биноминальными коэффициентами. Из этой формулы следует, что
10.22 Пример. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове “математика”?
Решение. Буква “а” входит 3 раза (k 1= 3), буква “м” - 2 раза (k2 = 2), “т”-2 раза ( k3 = 2), буквы “е”,”к”,”и” входят по одному разу, отсюда k3 = k4 = k5 = 1.
С10 (3, 2, 2, 1, 1, 1) = =151200.
10.23 Сочетания с повторениями. Пусть имеется n типов элементов, каждый тип содержит не менее m одинаковых элементов. Неупорядоченная выборка объемом m из имеющихся элементов (их число ³ m´n ) называется сочетанием с повторениями. Число сочетаний с повторениями обозначается (n).
10.24 Теорема. (n) = .
Доказательство.Пусть в выборку вошло m1 элементов первого типа, m2 элементов вторго типа, ... mn - n - ного типа. Причем каждое 0 £ mi £ m и m1 + m2 + ... + mn = m. Сопоставим этой выборке вектор следующего вида:
Очевидно, между множеством неупорядоченных выборок с повторениями и множеством векторов {bm} существует биекция (докажите это!). Следовательно, (n) равно числу векторов bm. “ Длина вектора” bm равна числу нулей и единиц, или m + n - 1.
Число векторов равно числу способов, которыми m единиц можно поставить на m + n - 1мест, а это будет .
10.25 Пример. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Покупатель берет 4 пирожных. Сколькими способами он может это сделать ? (Предполагается, что пирожных каждого вида ³ 4).
Число способов будет
10.26 Пример. Пусть V = {a, b, c}. Объем выборки m = 2. Перечислить размещения, сочетания, размещения с повторениями, сочетания с повторениями.
, где 
ÎU, j = 1, 2, ..., r. Этот набор называется выборкойобъема r из n элементов. Любое подмножество U является выборкой, но не всякая выборка является подмножеством U, так как в выборку один и тот же элемент может входить несколько раз (в отличие от подмножества).
.
= 15 ×14 ×13 = 2730.
.
Действительно, объект A - неупорядоченная выборка из n элементов по m, их число 
способом, B - 
(k1, ..., km) способами. По принципу произведения
называются биноминальными коэффициентами. Из этой формулы следует, что 
=151200.
(n).
.
(3)= 32 = 9.