Отношение порядка

Определение. Отношение r в множестве Х, удовлетворяющее условиям:

1) хrх для "хÎХ (рефлексивность);

2) из хrу и уrх следует, что х=у (антисимметрия);

3) из хrу и уrz следует, что хrz (транзитивность).

называется частичным порядкомна Х.

Пример. 1) Обычное отношение £ (или ³) на множестве всех чисел;

2) х является целым кратным у, где х и у из N;

3) отношение включения для множеств на множестве всех подмножеств.

Определение. Отношение r на Х, удовлетворяющее условиям:

1) хrх для "хÎХ;

2) из хrу и уrz следует хrz.

называется предпорядком.

Пример. На некотором множестве людей отношением предпорядка являются: а) рост одного человека больше или равен росту другого; б) вес одного человека больше или равен весу другого.

Если на множестве Х задано отношение предпорядка r, то полагая, что хsу, если хrу и уrх, получим отношение эквивалентности s на Х (проверить самостоятельно). Эквивалентность s разбивает Х на классы эквивалентности [x]. Обозначим через [X] - множество всех классов эквивалентности в Х. На [X] предпорядок r порождает отношение частичного порядка t по правилу [x]t[y], если $ х₁Î[x] и у₁Î[y]: x₁rу₁. Если х₂Î[x], то х₂sх₁, т.е. х₂rх₁ и х₁rу₁, следовательно, х₂rу₁. Последнее означает, что [x]t[y] тогда и только тогда, когда для "хÎ[x] и "уÎ[y] выполняется хrу. Проверьте самостоятельно, что t является отношением частичного порядка на [X].

Определение. Отношение r в Х называется строгим порядком, если это отношение обладает свойствами

1) отношение хrх не верно ни для одного хÎХ (иррефлексивность);

2) из хrу и уrz следует хrz.

Если на множестве Х задан частичный порядок r, то он порождает на Х отношение строгого порядка t по правилу: хtу тогда и только тогда, когда хrу и х¹у. Верно и обратное: отношение строгого порядка порождает отношение частичного порядка (каким образом?).

Таким образом, наличие одного из порядков, частичного или строгого, автоматически порождает на том же множестве наличие и другого порядка. Следовательно, можно говорить лишь о наличии порядка на множестве, имея ввиду, что тогда на этом множестве есть и частичный, и строгий порядки.

Множество Х, на котором введено отношение частичного порядка r, называется линейно упорядоченным (или цепью), если для "х,уÎХ выполнено одно из отношений: либо хrу, либо уrх.

Пусть Х - множество с частичным порядком r, а МÍХ. Тогда уÎХ называется левой гранью множестваМ, если уrх для "хÎМ. Если же zÎХ и хrz для "хÎМ, то z называют правой гранью множестваМ.

Определение. уÎХ называется точной левой гранью множестваМÍХ, если

1) уrх для "хÎМ;

2) zrу для "zÎХ: zrх.

Определение. уÎХ называется точной правой гранью множестваМÍХ, если:

1) хrу для "хÎМ;

2) уrz для "zÎХ: zrх.

Определение. уÎМ называется правым экстремальным (левым) элементоммножества МÍХ, если: хrу (соответственно, уrх) для "хÎМ.