Континуум

Если рассмотреть любое конечное множество и любое его собственное (непустое и не совпадающее с ним самим) подмножество, то элементов в подмножестве меньше, чем в сам множестве, т. е. часть меньше целого.

Определение. Множество А, равномощное множеству натуральных чисел N, называется счетным множеством(имеет мощность счетного множества). Если множество В является бесконечным и не равномощно множеству N, то его называют несчетным.

Множество, которое является конечным или счетным, еще называют не более чем счетным.

Пусть множество А является счетным. По определению, тогда существует биекция А на N, т.е. каждому аÎА соответствует единственный номер nÎN и множество А обращается в некоторую последовательность {а_n}.

Теорема 1. Любое подмножество счетного множества не более чем счетно.

Доказательство. Пусть А = {a_n} - счетное множество и В Í А. Если В конечное множество, то утверждение доказано. Предположим, что В бесконечное множество. Те элементы А, которые попали в В будут иметь некоторые номера в порядке возрастания: . Тогда необходимая нам биекция, показывающая, что В является счетным множеством, задается в виде: ® k.

Теорема 2. Объединение конечного или счетного числа счетных множеств является счетным множеством.

Доказательство. Рассмотрим счетное объединение счетных множеств (случай конечного является частным). Итак, пусть А_n - счетные множества для любого nÎN и А = È_n А_n. Для доказательства нам необходимо указать биекцию множества А на множество N, т.е. указать каждому аÎА его номер. Запишем все множества А в виде последовательностей с двумя индексами, где первый указывает номер множества. Зададим закон, который каждому элементу А ставит в соответствие некоторый порядковый номер. Если элементы множества А_n обозначить через а_nk, то высотой элемента а_nk назовем число n + k. Перепишем элементы множества А, располагая все его элементы по следующему правилу - сперва перепишем все элементы высоты 2, затем высоты 3, 4 и т.д: а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₁₃, а₂₂, а₃₁, а₁₄, а₂₃, а₃₂, а₄₁, ... Тогда любой элемент множества А будет иметь определенный номер.

Теорема 3. Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Доказательство. Выберем в заданном множестве А какой-либо элемент, придав ему единичный индекс: а₁. Среди всех оставшихся элементов множества А найдется не равный а₁ элемент (в силу бесконечности А). Его мы обозначим через а₂. Продолжая этот процесс до бесконечности мы получим необходимое нам счетное множество {a_n} .

Теорема 4. Пусть множество М - несчетно, множество А не более чем счетно и А Í М. Тогда множество М – А равномощно множеству М.

Доказательство. Пусть множество М – А не более чем счетно. Тогда множество М = АÈ(М – А) по теореме 2 не более чем счетно. Это противоречит тому, что множество М несчетно и, следовательно, наше исходное предположение не верно. Таким образом, множество М – А несчетно. Последнее еще не означает равномощности множеств М и М – А. Докажем ее. Выделим из М – А счетное множество В. Обозначим через С множество С = (М – А) – В. Справедливы равенства М = АÈВÈС и М – А = ВÈС. Множество АÈВ счетно (теорема 2). Следовательно, существует биекция f из АÈВ на А. Теперь можно построить биекцию g из М на М – А по правилу:

Теорема 5. Если множество С бесконечно, а В не более чем счетно, то множество ВÈС равномощно множеству С.

Доказательство. Если множество С счетно, то множество ВÈС также счетно и следовательно они равномощны. Если же множество С не счетно, то мы можем воспользоваться теоремой 4, положив в ней А = СÇВ, а М = С.

Теорема 6. Если множество С является бесконечным, то существует его подмножество В такое, что В¹С и В равномощно с С.

Доказательство. По теореме 3 мы можем выделить из множества С его счетное подмножество А. Если множество С счетно, то в качестве В из утверждения теоремы можно взять В=А. Если же С не счетно, то можно положить В=С-А и утверждаемое вытекает из теоремы 4.

Теорема 7. Множество рациональных чисел Q является счетным.

Доказательство. Обозначим через Р множество всех пар натуральных чисел (p, q), таких что p и q не имеют общих целых делителей, кроме единицы. Для пары натуральных чисел (p, q) введем ее высоту m = p + q. Обозначим Р_n множество пар натуральных чисел высоты n. Нетрудно проверить, что каждое множество Р_n является конечным и содержит не более, чем n-1 член. Так как Р = È_n Р_n, то множество Р счетно в силу теоремы 2.

Рассмотрим теперь множество Q₊ положительных рациональных чисел. Каждое положительное рациональное число представим в виде не сократимой дроби p/q. Тогда между этим числом и парами из Р существует биекция p/q « (p,q), которая показывает равномощность множеств Q ₊и Р, т.е. счетность множества Q₊. Ясно, что множества Q₊ и Q _- равномощны. Тогда Q = Q ₊ÈQ _- является счетным множеством как объединение двух счетных множеств.

Теорема 8. Множество точек интервала (0,1) является несчетным.

Доказательство(диагональный метод Кантора).Доказательство проведем от противного, предположив, что множество точек интервала (0,1) является счетным. Тогда все точки можно записать в виде последовательности:

0,а₁₁а₁₂а₁₂а₁₄ ...

0,а₂₁а₂₂а₂₃а₂₄ ...

0,а₃₁а₃₂а₃₃а₃₄ ...

0,а₄₁а₄₂а₄₃а₄₄ ...

..........................

Покажем, что на самом деле здесь записаны не все числа из интервала (0,1). Построим число 0,а₁а₂а₃а₄ ... по правилу а_k ¹ а_kk . Это всегда можно сделать. Но тогда построенное нами число входит в интервал (0,1) и не совпадает ни с одним из записанных чисел. Мы получили противоречие с тем, что нами были выписаны все числа из интервала (0,1) и этим доказали теорему.

Множества, равномощные множеству точек интервала (0, 1), называются множествами мощности континуум.