Лінійно незалежні вектори

Лінійно незалежними векторами називають вектори , , … , , лінійна комбінація яких дорівнює нулю тільки тоді, коли всі числа , , …, є нулями

, .

Зауваження. Рівність нуль-вектору лінійної комбінації лінійно незалежних векторів відповідає тотожності

.

Наприклад. Будь-яка лінійна комбінація лінійно незалежних векторів у векторному просторі геометричних векторів утворює незамкнений ланцюг.

Розмірність векторного простору дорівнює максимальній кількості лінійно незалежних векторів, які можна вибрати у цьому просторі.

Наприклад. Векторний простір геометричних векторів містить нескінчену кількість векторів. Але для описання всієї сукупності векторів такого простору достатньо визначити певну скінчену кількість лінійно незалежних базових векторів. Кількість базових векторів у геометричному векторному просторі визначає його розмірність.

Приклад 1. Одновимірним лінійним простором є будь-яка пряма. Якщо на прямій задати довільним чином ненульовий вектор , то всі інші вектори можна одержати розтягуючи або стискаючі цей вектор та змінюючи напрям векторів. Одновимірний лінійний простір містить всі колінеарні вектори

, де , .

Приклад 2. Двовимірним лінійним простором є будь-яка площина. Якщо на площині задати довільним чином два ненульові неколінеарні вектори , то всі інші вектори можна визначити як лінійну комбінацію цих векторів. Двовимірний лінійний простір містить всі лінійні комбінації двох ненульових неколінеарних векторів

, де , , , .

Приклад 3. Тривимірний лінійний простір . Якщо задати довільним чином три ненульові некомпланарні вектори , то всі інші вектори простору можна визначити як лінійну комбінацію цих векторів. Тривимірний лінійний простір містить всі лінійні комбінації трьох ненульових некомпланарних векторів

,

де – вектори, які не лежать у одній площині, .

Зауваження. Простір, який складається з одного нульового вектора , називають нульовим простором, його розмірність дорівнює нулю.