Базис лінійного простору

Базисом лінійного простору є впорядкована сукупність векторів, яка містить максимально можливу кількість лінійно незалежних векторів цього простору.

Вектори, які складають базис називають базисними векторами.

Розмірність лінійного простору дорівнює кількості базисних векторів. У залежності від кількості базисних векторів лінійні простори бувають скінченними або нескінченними.

Наприклад. Розглянемо базис скінченного лінійного простору , який є упорядкованим набором одиничних лінійно незалежних векторів,

, , .

1. Базис одновимірного лінійного простору позначають .

2. Базис двовимірного лінійного простору позначають .

3. Базис тривимірного лінійного простору позначають .

Властивості базису лінійного простору

1. Якщо базис складається з векторів, то будь-які вектори цього

простору є лінійно залежними.

2. Базис лінійного простору можна змінювати, оскільки сукупність лінійно незалежних векторів формується довільним чином.

3.Базис у лінійному просторі визначається неоднозначно.

Р о з к л а д в е к т о р а з а б а з и с о м.

1. Будь-який вектор лінійного простору, , єдиним чином можна

представити як лінійну комбінацію базисних векторів ,

.

Вектори , , … , називають складовими вектора у розкладі за заданим базисом.

Числа , , … , називають координатами вектора в заданому базисі і пишуть .

Приклад 4. Розглянемо вектор прискорення . Його можна розкласти на дві взаємно перпендикулярні складові: тангенціальна складова прискорення , яка визначає зміну швидкості за величиною; нормальна складова , яка визначає зміну швидкості за напрямом. Якщо в якості базових векторів вибрати орти складових вектора прискорення, та , , то одержимо його розклад у вказаному базисі

,

де , – координати вектора прискорення , .

Приклад 5.Кожен вектор базису лінійного простору, , можна представити як лінійну комбінацію всіх базисних векторів

.

Завдання для самостійної роботи

1. Скориставшись правилом многокутника виконати дію: . Напрям векторів вибрати самостійно а) всі вектори паралельні; б) вектори непаралельні. При якій умові сума векторів утворить замкнений ланцюг?

2. Побудувати п’ятикутник . Визначити напрямні вектори його сторін, обходячи контур проти стрілки годинника. Чому дорівнює сума всіх напрямних векторів сторін п’ятикутника? Чи є напрямні вектори сторін п’ятикутника лінійно залежними?

3. Побудувати трикутник . Визначити напрямні вектори його сторін, обходячи контур проти стрілки годинника. Позначити середину сторони точкою . Підтвердити графічно рівність: .

4. Визначити з рівності кожен з векторів через інші вектори. Чи є вектори лінійно залежними ?

5. Запишить математичний вираз, який є лінійною комбінацією векторів з коефіцієнтами , , . Зобразити це графічно. Напрям векторів вибрати самостійно.

6. Вказати, які з лінійних просторів геометричних векторів є одновимірними, двовимірними, тривимірними. Зобразити множини та їх базиси графічно. Описати ці множини аналітично.

7. Зобразити графічно декілька різних базисів на площині .

Питання для самоперевірки