Модель международной торговли (модель обмена)

Модель международной торговли (модель обмена) предназначена для ответа на следующий вопрос: какими должны быть соотношения между государственными бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной, т.е. не было значительного дефицита торгового баланса для каждой из стран-участниц.

Проблема достаточно важна, так как дефицит в торговле между странами порождает такие явления, как лицензии, квоты, таможенные пошлины и даже торговые войны.

Рассмотрим ситуацию стран – участниц торговли с государственными бюджетами соответственно. Будем считать, что весь госбюджет каждой страны тратится на закупки товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран.

Введем в рассмотрение структурную матрицу торговли:

, где часть госбюджета, которую j-я страна тратит на покупку товаров i-й страны. Сумма элементов матрицы S в каждом столбце должна быть равна единице.

После подведения итогов за некоторый период страна получит выручку . Для того чтобы торговля была сбалансированной, необходимо потребовать бездефицитность торговли для каждой страны:

(7.7)

На самом деле все неравенства в (7.7) должны выполняться как точные равенства. Это следует из теоремы:

Теорема об условиях бездефицитной торговли[1]. Условием бездефицитной торговли являются равенства

(7.8)

В матричной форме соотношение (7.8) выглядит следующим образом:

, (7.9)

что является частным случаем уравнения

. (7.10)

Отсюда следует, что вектор бюджетов является собственным вектором структурной матрицы торговли , а соответствующее собственное значение этой матрицы равно 1.

Согласно (6.8) и (6.9), необходимым и достаточным условием существования решения уравнения (7.10) является условие существования решения уравнения

. (7.11)

Если раскрыть определитель, стоящий в левой части (7.11), то получится многочлен степени n относительно называемый характеристическим уравнением матрицы . Отсюда вытекает, что собственные значения матрицы являются корнями ее характеристического уравнения.

Таким образом, для того чтобы найти вектор бюджетов , необходимо и достаточно отыскать собственный вектор структурной матрицы торговли , соответствующий единичному собственному значению этой матрицы.

Пример 7.3. Пусть задана структурная матрица торговли трех стран есть . Это означает, в частности, что страна С₁ тратит половину своего бюджета на закупку товаров внутри страны, ¼ бюджета – на товары из С₂, оставшуюся часть бюджета – на товары из С₃. Требуется найти вектор бюджетов стран, гарантирующий бездефицитную торговлю всех стран.

Решение. Уравнение для отыскания собственного вектора матрицы согласно (7.9) имеет вид

,

откуда получаем систему линейных уравнений

Эта система имеет бесконечное множество решений. Взяв за свободную переменную , нетрудно найти общее решение:

.

В качестве собственного вектора можно взять вектор . В частности, это означает, что сбалансированность торговли рассмотренных трех стран может быть достигнута только в том случае, когда госбюджеты находятся в отношении

.

Задачи

7.1.В таблице 7.2 приведены балансовые данные, у.е.:

Таблица 7.2

Вычислить объемы валового выпуска отраслей, необходимые для увеличения конечного продукта первой отрасли в 2 раза, а второй отрасли - на 20%.

7.2. В таблице 7.3 приведены балансовые данные, у.е.:

Таблица 7.3

Вычислить объемы валового выпуска отраслей, необходимые для увеличения конечного продукта в отрасли Машиностроение (Отр.2) вдвое при условии, что другие конечные продукты сохранятся на прежнем уровне.

7.3. В таблице 7.4 приведены балансовые данные, у.е.:

Таблица 7.4

Вычислить объемы валового выпуска отраслей, необходимые для того чтобы конечный продукты станкостроения и отрасли «добыча и переработка углеводородов» остались на прежнем уровне, а конечные продукты всех других отраслей увеличились в 1,5 раза.

7.4. Восстановить элементы балансовой таблицы 7.5

при условии, что структурная матрица и вектор конечного продукта заданы и равны: ; .

7.5. Структурная матрица экономики трех отраслей имеет вид:

.

Определить равновесные цены, при которых вектор норм добавленной стоимости будет равен .

7.6. Пусть в условиях задачи 7.5 вектор валового выпуска равен . Найти равновесные цены, при которых норма добавленной стоимости 1-й отрасли вырастет на 2, а в других отраслях не изменится.

7.7.В таблице 7.6 приведены балансовые данные, у.е.:

Таблица 7.6

Найти равновесные цены, при которых вектор норм добавленной стоимости равен . Найти суммарную стоимость S конечных продуктов.

7.8.Восстановить элементы балансовой таблицы 7.7

при условии, что структурная матрица и вектор валового выпуска заданы и равны: ; .

ОТВЕТЫ

1.2. ; ; ; .

1.3. ; . 1.4. ; .

1.5. ; . 1.6. ; ; .

1.7. ; .

1.8. а) ; .

б) ; .

1.9. ; ; ; ; ; ; ; ;

1.10. ; ; ;

; ; .

1.11. а) ; б) .

1.12. а) ;

б) .

1.13. а) ; ;

б) ; ;

в) ; .

1.14.

1.15. а) , б) , в) ,

г) , д) .

1.16. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) при четном n, при нечетном n; е) .

1.17. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

1.18. , где . 1.19. ; , где .

1.20. а) i-я и j-я строки произведения поменяются местами;

б) к i-й строке произведения прибавится j-я строка, умноженная на ;

в) i-й и j-й столбцы поменяются местами;

г) к i-му столбцу произведения прибавится j-й столбец, умноженный на .

1.21. а) , б) , в) .

1.22. , .

1.23. , . 1.24. , , .

1.25. а) ; б) ; в) ; г) .

1.27. а) , ; б) , ;

в) , ; г) , ;

д) , ; е) ;

ж) , .

1.28. а) ; б) ; в) ;

г) . 1.29. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1.30. а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 1.31. а) ; б) .

1.32. a) положительно определена; б) положительно определена; в) отрицательно определена; г) отрицательно определена.

2.1. а) 18; б) 14; в) –38; г) 23; д) –7. 2.2. а) ; б) ; в) ; г) .

2.3. а) 1; б) 1; с) . 2.4. . 2.5. .

2.6. . 2.7. а) –2; б) –14; в) 4; г) 0. 2.8. а) 68; б) 0; в) 2; г) 0. 2.9.а) –108; б) 0; в) 180; г) 72. 2.10. а) ; б) ; в) ;

г) .

2.11. а) ; б) ; в) 0.

2.12. а) ; б) ; в) .

2.13. а) ; б) ; в) 0.

2.14. а) ; б) .

2.21. а) ; б) ; в) . 2.22. .

2.23. . 2.24. . 2.25. . 2.26. ; 1. 2.27. . 2.28. .

2.30. а) 0; б) 48; в)133. 2.31. а) 0; б) 12; в) 900. 2.32. а) 6; б) .

2.33. а) ; б) ; в) .

2.34. а) ;

б) ; в) .

2.35. а) 394; б) 665; в) 640. 2.36. а) 21280; б) 100. 2.37. . 2.38. . 2.39. . 2.40. . 2.41. . 2.42. 1. 2.43. .

3.1. . 3.2. . 3.3. . 3.4. . 3.5. . 3.6. .

3.7. . 3.8. . 3.9. . 3.10. . 3.11. . 3.12. .

3.13. . 3.14. . 3.15. . 3.16. . 3.17. . 3.18. .

3.19. . 3.20. . 3.21. . 3.22. . 3.23. .

3.24. , если , и , если . 3.25. при любом .

3.26. при и при ; при ;

при .

3.30. У матрицы А единственным базисным минором является минор второго порядка ; у матрицы В – четыре : ; у матрицы С – шесть: ; у матрицы D – два: .

4.1. а) , б) , в) , г) .

4.2. а) , б) , в) , г) .

4.3. а) , б) , в) .

4.4. а) , б) .

4.5. а) б) . 4.6. а) , б) ,

4.7. а) , б) .

4.8. а) , ; б) , ;

в) , ; г) , ; д) , .

5.1. . 5.2. . 5.3. .

5.4. . 5.5. . 5.6. .

5.7. . 5.8. Линейно независима. 5.9. Линейно зависима. 5.10. Линейно независима. 5.11. Линейно независима. 5.12. Линейно зависима. 5.17. . 5.18. . 5.19. . 5.20. . 5.21. Ни при каких .

5.22. , . 5.23. , .

5.24. , . 5.25. , , .

5.26. , , , .

5.27. , , , .

5.32. . 5.34. . 5.35. .

5.36. а) (1/2, 0, 1/2); б) (1, –1/2, 1/2).

5.37. . 5.38. –13. 5.39. а) , б) , в) .

5.40. а) (–3, 5, 7); б) (–6, 10, 14); в) (–12, 20, 28). 5.41. а) 24; б) 24; в) 24.

5.44. 6. 6.1. . 6.2. . 6.3. .

6.4. . 6.5. .

6.6. , , , .

6.7. , , , .

6.8. , , , .

7.1. . 7.2. ; ; .

7.3.

7.5. . 7.6. .

7.7. , .

ЛИТЕРАТУРА

1.Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 224 с.

2. Беллман Р. Введение в теорию матриц, 2-е изд. – М.: Наука, 1976. – 352 с.

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968. – 432 с.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – 5-е изд. – М.: Физматлит, 2010. – 560 с.

5. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ. – М.: Мир, 1989.– 665 с.

6. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра: Учебник. 5-е изд. – М.: Физматлит, 2001. – 320 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Отпечатано на участке оперативной полиграфии

редакционно-издательского отдела ТГУ

Заказ №____ от «___» ______2011 г. Тираж _____экз.